Het bijzondere van normale getallen

Wat is normaal? En wat is niet normaal?
De term “normaal” wordt maar al te vaak en zonder onderscheid gebruikt in onze maatschappij, en een mogelijke benadering zou kunnen zijn “dat wat het vaakst voorkomt”. Maar echt sluitend is die definitie niet, althans wat filosofen, psychologen, sociologen en aanverwanten betreft.

Voor wiskundigen (die door velen eerder als niet normaal worden aanzien, waarom weten we zelf niet altijd) is het echter heel duidelijk wat “normaal” is, toch zeker als het over getallen gaat. Een (komma)getal heet namelijk normaal als alle cijfers 0 tot en met 9 er even vaak in voorkomen, maar ook alle tweetallen 00, 01, 02, …, 99; en ook alle drietallen 000, 001, … , 999; en ook alle viertallen, en vijftallen, enzovoort. (*En dit moet tegelijkertijd eigenlijk gelden in álle talstelsels, maar we beperken ons hier voor de eenvoud tot het decimaal of tiendelig talstelsel dat we dagdagelijks gebruiken.)

De naam “normale getallen” werd bedacht door de Franse wiskundige Émile Borel. En de vlag dekt eigenlijk perfect de lading als we teruggrijpen naar de “dat wat het vaakst voorkomt”-definitie van “normaal”: in 1909 bewees Borel namelijk dat bijna alle getallen normaal zijn (in de zin dat het aantal niet normale getallen verwaarloosbaar klein is ten opzichte van het aantal normale getallen). Maar daar schuilt ook net het mysterieuze van deze getallen in: hoewel ze met zoveel zijn, blijkt het ontiegelijk moeilijk om aan te tonen van een getal of het normaal is.

“Hoezo?”, hoor ik je denken. “Je kan toch gewoon die cijfers tellen, en de tweetallen, en de drietallen enz., en telkens controleren of ze allemaal even vaak voorkomen?”

Zo eenvoudig is het namelijk niet, want uit de definitie volgt dat normale getallen oneindig veel cijfers moeten bevatten. Neem bijvoorbeeld het getal 9876543210. Alle cijfers zijn gelijk vertegenwoordigd, namelijk juist 1 keer. Maar het punt is dat ook alle getallen van lengte 2, en van lengte 3 enz., even veel moeten voorkomen, en dat lukt nooit als er maar eindig veel cijfers zijn. Inderdaad, in het voorbeeld 9876543210 is het getal zelf het enige getal van lengte 10 dat voorkomt, ieder ander getal van lengte 10 komt niet voor.  Een normaal getal bevat dus oneindig veel cijfers, de meeste achter de komma natuurlijk. Bovendien kan er ook geen herhaald patroon optreden in deze oneindige decimalen, aangezien dat patroon onvermijdelijk veel meer voorkomt dan andere getallen van dezelfde lengte. Er moet met andere woorden voldoende willekeur aanwezig zijn in de decimalen van een getal opdat het überhaupt normaal kan zijn.

Een klein intermezzo: aangezien er met zekerheid oneindig veel decimalen te tellen zijn om aan de definitie van normaliteit te voldoen, zullen ook alle cijfers oneindig vaak moeten voorkomen, en alle tweetallen, en alle drietallen etc. Hoe bepalen we dan of ze “allemaal even vaak” voorkomen? Hier komen we terecht in de wereld van de statistiek: je verwacht statistisch gezien dat de onderlinge verhouding gelijk is. Denk bijvoorbeeld aan het werpen met een (eerlijke) dobbelsteen: gooi 10 keer, en je zult gegarandeerd geen precies gelijke verhouding hebben tussen het aantal 1’en, 2’en enzovoort. Maar hoe meer je dobbelt, hoe meer die aantallen zullen convergeren naar 1/6ᵉ van het totaal aantal worpen. Hetzelfde idee geldt voor de normale getallen: de frequentie van de individuele cijfers zal voor elk cijfer moeten convergeren naar 1/10ᵉ, voor de tweetallen naar 1/100ᵉ, voor de drietallen naar 1/1000ᵉ, enzovoort.

Hoe dan ook, getallen die je als een breuk kan schrijven (zogenaamde rationale getallen) hebben altijd ofwel een eindig aantal cijfers achter de komma (bvb. 1/4 = 0,25) of een oneindig aantal maar met herhaalde patronen (bvb. 1/7 = 0,142857142857…), en kunnen dus niet normaal zijn. We moeten die normale getallen dus al zeker gaan zoeken binnen de irrationale getallen: getallen die niet als breuk te schrijven, zoals $ \sqrt{2} $, $e$, $\pi$  en consoorten. Van zo’n getallen vermoeden we vaak dat ze normaal zijn (bijvoorbeeld op basis van tellingen binnen de eerste aantal cijfers achter de komma), maar sluitende bewijzen zijn er voorlopig (nog?) niet.

Een van de weinige getallen waarvan wel formeel werd aangetoond dat het een normaal getal is, is het getal van Champernowne. Dit getal wordt gevormd door achter de komma alle natuurlijke getallen in volgorde  aan elkaar te plakken:
0,1234567891011121314151617181920…
David Gawen Champernowne (naar wie dit getal vernoemd werd) bewees in 1933 (toen hij nota bene nog student was in Cambridge) dat dit getal wel degelijk normaal is.
In 1946 bewezen Arthur Herbert Copeland en Paul Erdös voor een soortgelijk getal dat het een normaal getal is, namelijk het getal waarbij je enkel de priemgetallen achter elkaar plakt:
0,235711131719232931374143...

Merk op dat het getal van Champernowne ook een andere wel zeer bijzondere eigenschap bezit: eender welk natuurlijk getal kan je ergens in de decimalen terugvinden. Dit volgt rechtstreeks uit de constructie van het getal. We kunnen ook aantonen dat dit een eigenschap is die álle normale getallen bezitten! Neem namelijk een willekeurig natuurlijk getal $N$, bijvoorbeeld van lengte 100. Een normaal getal heeft oneindig veel decimalen, dat hebben we eerder al uitgedokterd. Je kan dus oneindig veel sequenties van lengte 100 markeren in dat normaal getal. Anderzijds zijn er maar eindig veel natuurlijk getallen die je kan vormen met 100 cijfers. Er zullen dus bepaalde getallen met 100 cijfers oneindig keer voorkomen. Dus, volgens de definitie van een normaal getal, kan het opgegeven getal $N$ niet nul keer voorkomen.

Van $\pi$ wordt ook wel eens beweerd dat je elk natuurlijk getal ergens in de cijfers achter de komma tegenkomt. Denk maar aan je telefoonnummer of je geboortedatum, maar bijvoorbeeld ook het volledige verzamelde werk van Shakespeare als je elke letter omzet in een getal (a = 01, b = 02, enzovoort), al zal je dan waarschijnlijk wel heel lang moeten zoeken. Want ondanks dat het getal 12345 bijvoorbeeld maar liefst 8 keer voorkomt in de eerste miljoen decimalen achter de komma van $\pi$, komt het getal 123456 daar helemaal nog niet in voor. Dat is pas de eerste keer op positie 2458885. (Deze website laat je alvast getallen zoeken in de eerste 200 miljoen decimalen van $\pi$.) Alleen is ook dit een bewering die nog niet werd bewezen voor het getal $\pi$ .

Eigenlijk vermoeden we dat $\pi$ een normaal getal is. Zodra we dit kunnen bewijzen, krijgen we de bovenstaande eigenschap cadeau. In de omgekeerde richting werkt het helaas niet. Niet elk getal met de bovenstaande eigenschap is een normaal getal.  Neem bijvoorbeeld het getal van Champernowne, maar voeg na elk natuurlijk getal een (exponentieel stijgend!) aantal 0’en toe: na de 1 voeg je één 0 toe, na de 2 voeg je er twee ($2^1$) toe, na de 3 voeg je er vier ($2^2$) toe, na de 4 voeg je er acht ($2^3$) toe, na de 5 zestien ($2^4$), etc. Dat ziet er dan zo uit (waarbij de spaties enkel dienen om de opbouw duidelijk te maken):

0,1 0 2 00 3 0000 4 00000000 5 0000000000000000 6 …

In de oneindig lange rij decimalen van dit getal komt nog steeds elk natuurlijk getal voor (per constructie van het getal van Champernowne waarvan we vertrokken). Maar het aantal 0’en stijgt exponentieel veel sneller dan het aantal van eender welk ander cijfer, waardoor het getal zeker niet normaal is.

Wil je nog meer weten over het getal $\pi$? Lees dan zeker ook "PI + AI, een succesformule?", onze jaarlijkse lijst $\pi$-weetjes!