Het priemgetallenmysterie is de sleutel tot een strategie in populair fantasy-kaartspel

Beeld: Mikko Saari

Een potje van Magic: The Gathering begint al voordat de spelers hun eerste kaart hebben neergelegd. Bij het ruilkaartenspel Magic moeten de competitieve spelers een optimaal pak kaarten, oftewel een deck, samenstellen. Daarvoor moeten ze rekening houden met hoe hun eigen deck een antwoord kan bieden op die van de hypothetische tegenstanders, die een waaier aan strategieën kunnen hanteren. Tijdens het spel probeert de speler zo goed mogelijk te voorspellen wat de andere gaat doen. Dankzij de 30 000 verschillende kaarten die momenteel beschikbaar zijn, is geen enkel spel hetzelfde.

Deze overvloed aan mogelijkheden roept veel vragen op en brengt spelers op heel wat ideeën. Sommige spelers vragen zich af hoe ingewikkeld het spel nu werkelijk is. Bevat het bijvoorbeeld genoeg complexiteit om berekeningen te doen zoals je zou doen met een computer? Om dit uit te testen, maakten Alex Churchill en twee andere Magic-spelers een spelsituatie waarin de kaarten konden dienen als een universele computer — als een Turingmachine. Ze publiceerden hun werk op de preprint server arXiv.org in 2019.

Hun computermodel gaf de doorslag: Magic is het meest complexe speltype, concludeerden ze. Theoretisch gezien kan een specifiek potje Magic elke berekening uitvoeren die een computer kan verwerken. Sinds ik dat heb ontdekt, koester ik een zekere fascinatie voor het spel.

In de praktijk is het natuurlijk niet echt zinvol om een Magic-deck te gebruiken voor zijn rekenkracht. Zo’n Turingmachine coderen alleen al is extreem tijdrovend. En wie heeft er de tijd om de volgende stap te zetten en door de miljarden aan verschillende kaartcombinaties te gaan die nodig zijn om een wiskundig probleem op te lossen met Magic-kaarten? Het zou sneller zijn om het probleem op te lossen met wat elegante Pythoncode (of een andere programmeertaal) op een computer.Maar blijkbaar zijn er heel wat mensen die best bereid zijn om hun tijd te besteden aan zulke ‘Magische’ ondernemingen. In 2024, ontwikkelden Churchill en wiskundige Howe Choong Yin bijvoorbeeld een Magic-programmeertaal die Magic-zetten gebruikt om elementair rekenwerk te coderen zoals optelling, vermenigvuldiging of deling. Stel dat je de som 3 + 5 wilt berekenen. Dan is alles wat je nodig hebt: een paar kaarten (zoals Vaevictis Asmadi, the Dire), de instructies van Churchill en Howe en een beetje geduld. Vergeet supercomputers, kwantumcomputing en al die andere chique speeltjes: de toekomst van de informatica ligt in Magic-kaarten, toch?

Waarschijnlijk niet — zelfs een simpele staartdeling oplossen met Magic-kaarten is ingewikkeld. Nog complexere problemen oplossen op die manier is haast onmogelijk, vooral als je ermee een antwoord hoopt te vinden op de open vragen van de wiskunde. Maar dat heeft anderen er niet van weerhouden om het toch te proberen.

Gameplay met Priemtweelingen

In de herfst van 2024 postte Reddit-gebruiker its-summer-somewhere een combinatie van 14 zetten die gebruik maken van ongeveer twee dozijn Magic-kaarten en die de potentie heeft om oneindig veel schade toe te doen. De uitkomst van het spel hangt af van het antwoord op een wiskundig vraagstuk dat al bijna 180 jaar oud is: Is er een oneindig aantal van priemtweelingen? Priemgetallen zoals 2, 3, 5, 7 en 11 zijn enkel deelbaar door 1 en zichzelf. Priemtweelingen zijn paren van priemgetallen, waarvan het verschil tussen beide gelijk is aan twee (bijvoorbeeld: 3 en 5, 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19, enzovoorts). Wiskundigen hebben al eerder bewezen dat er een oneindig aantal priemgetallen bestaat. Maar het aantal priemgetallen daalt naarmate de getallen groter worden. Dat is des te meer het geval bij priemtweelingen. Al eeuwenlang worstelen wiskundigen met de vraag of er ook een oneindig aantal priemtweelingen is of dat het toch op een bepaald punt gedaan is met de pret.

In 1849 formuleerde de Franse wiskundige Alphonse de Polignac het nu bekende priemtweelingvermoeden: er is een oneindig aantal priemtweelingen. Maar ondanks de vele pogingen, is zijn vermoeden op dit moment noch bevestigd noch ontkracht. Het grootste gekende priemtweelingpaar is 2,996,863,034,895 x 21,290,000 + 1 en 2,996,863,034,895 x 21,290,000 – 1. En dat zou zo maar de laatste kunnen zijn.

Een wiskundige Magic-kaart

De interesse voor priemgetallen groeide sterk bij Magic-spelers na de lancering van de nieuwe kaartenset Duskmourn: House of Horror op 27 september 2024. Het deck bevatte onder andere de kaart Zimone, All-Questioning. De beschrijving ervan luidt: ‘Aan het begin van je eindstap, als een land deze beurt werd geïntroduceerd op het slagveld onder jouw controle en het aantal landen dat je controleert een priemgetal is, creëer dan Primo, the Indivisible, een legendarische 0/0 groen en blauw fractaal-wezen-fiche, en leg er dan evenveel +1/+1 counters op. (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, en 31 zijn priemgetallen.)’

Dat klink nogal cryptisch, in ieder geval voor mensen zoals ik die geen ervaring hebben met Magic. Maar de actie van de kaart hangt af van het aantal valuta-producerende kaarten, de zogeheten landen, die de speler in zijn controle heeft — meer specifiek of dat aantal een priemgetal is.

Het idee, dat Reddit-gebruiker its-summer-somewhere beschreef, is om situaties te creëren waarin bepaalde kaarten genaamd ‘wezens’ zo vaak gekopieerd kunnen worden als je wil met behulp van een specifieke kaartcombinatie. Een andere kaart zorgt ervoor dat de gekopieerde wezens fungeren als landen. Als het aantal landen in je controle geen priemgetal is, dan creëert een bepaalde combinatie van kaarten twee extra landen. Vanaf het moment dat het aantal landen overeenkomt met het priemgetal p, treedt de Zimone-kaart in werking: deze kaart creëert vervolgens twee nieuwe Primo-wezens die automatisch ook landen worden. Dat betekent dat je nu p + 2 landen hebt. Als p + 2 ook een priemgetal is, dan wordt de kracht van Zimone opnieuw geactiveerd, waardoor er nu vier Primo-wezens op het slagveld staan. Op dat moment kun je er drie gebruiken om schade toe te brengen aan je vijand. Daardoor kan je tegenstander alleen maar beschadigen als Zimone twee keer na elkaar geactiveerd wordt — in andere woorden, enkel wanneer het aantal landen in je controle overeenkomt met een priemtweeling.

Je kan bepaalde stappen herhalen om het aantal landen te verhogen naar de eerstvolgende priemtweeling. Het maximum aan schade dat kan worden aangericht hangt af van het aantal bestaande priemtweelingen: ‘De maximale schade is oneindig als en slechts als het priemtweelingvermoeden klopt’, aldus its-summer-somewhere.

Brengt dit de mensheid nu dichterbij een oplossing van het priemtweelingvermoeden? Waarschijnlijk niet. Je zou natuurlijk twee mensen eeuwenlang Magic kunnen laten spelen. Maar uiteindelijk moet je voor het spel enkel weten welke nummers priemtweelingen zijn in plaats van expliciet het vermoeden te bevestigen.

Hoe dan ook is het verzonnen spel altijd vermakelijk en bizar — en het zet blijkbaar niet-wiskundigen aan om met getaltheorie-gerelateerde problemen bezig te zijn. Het zou ook het omgekeerde effect kunnen hebben: als een wiskundefanaat ben ik al lang op zoek naar een nieuwe hobby. Misschien moet ik Magic een kans geven.

Dit artikel verscheen eerder in Scientific American. Vertaling: Maxim Garvelink.