Bij een epidemie neemt het aantal besmettingen exponentieel toe. Om het fenomeen van exponentiële groei te verhelderen, gebruiken sommige wetenschappers volgend raadsel.
Twee identieke waterlelies worden gelijktijdig aangeplant in twee naburige vijvers, waarvan de tweede dubbel zo groot is als de eerste. De oppervlakte van de leliebladeren verdubbelt elke dag. Aan het begin van de dertigste dag is de eerste vijver overgroeid. Hoe lang zal het dan nog duren voor de tweede vijver vol is?
Als de groei lineair was, dan duurde het nog eens dertig dagen, maar de groei is exponentieel. Aangezien de oppervlakte elke dag verdubbelt, is de tweede vijver een dag later al vol. Dit raadsel verscheen in 1946 in Atomes, een Frans tijdschrift over aard- en levenswetenschappen.
Net zoals de leliebladeren verspreidde ook de opgave zich razendsnel. In 1951 plaatste een Frans tijdschrift voor leerkrachten een gestroomlijnde versie: er is nog slechts sprake van één waterlelie in een vijver. De vraag is nu simpelweg wanneer de vijver halfvol was, als hij na dertig dagen helemaal vol is.
Het antwoord is na 29 dagen. Deze versie werd wereldberoemd door een vermelding in Grenzen aan de groei van de Club van Rome uit 1972. Het Engelstalige rapport is in vele talen vertaald. Zo won het raadsel nog meer terrein.
In 1978 koos de Amerikaanse milieuonderzoeker Lester Brown de oplossing van het raadsel bijvoorbeeld als titel voor zijn boek The Twenty-Nineth Day. En in 2020 noemde een Franse arts, Martin Hirsch, zijn boek over de coronapandemie L’énigme du nénuphar. Het raadsel van de waterlelie, dus. Daarmee was het raadsel weer thuis.
Een realistischer variant gaat over bacteriën, die zich vermenigvuldigen door te delen. Bij een bepaalde temperatuur deelt een gegeven bacterie zich elke minuut. Stel dat de bacteriën op een petrischaal groeien, die net vol is om 12 uur. Wanneer was het schaaltje dan halfvol? (Antwoord: 1 minuut voor 12.)
Woekerende waterlelies en rijstkorrels op schaakborden verbeelden exponentiële groei. Credit: Sylvia Wenmackers - Midjourney
Een fantasievoller raadsel over exponentiële groei stamt al uit de 13de eeuw. Het gaat over een Indiase koning die akkoord gaat om een schaakwedstrijd te spelen tegen een wijze. De inzet bedraagt één rijstkorrel op het eerste veld, twee korrels op het tweede veld, vier op het derde, en zo verder. Uiteraard verliest de koning, en komt hij pas daarna tot het inzicht dat zijn schuld een gigantische berg rijst bedraagt.
Het gaat om meer dan 18 triljoen korrels, die natuurlijk niet op een schaakbord passen. De Nederlandse natuurkundeleraar Arjan van der Meij herinnerde zich dit raadsel uit zijn eigen schooltijd. Hij wilde graag weten tot hoever het lukt om de korrels op een echt schaakbord te doen passen. Op de eerste rij van acht vakjes stelt zich geen probleem. Voor de tweede rij gebruikte hij glazen buizen om de rijst boven het juiste vakje te houden.
Bij het negende vakje ligt het grondvlak vol. Vanaf dan moeten de buizen telkens in lengte verdubbelen. Vanaf het negentiende vakje worden de buizen al onpraktisch hoog en zwaar. Van der Meij plaatste daar een beeldje van een basketballer, om symbolisch aan te geven dat die buis bijna zo hoog zou moeten zijn als een basketbalring.
Op het 26ste vakje prijkt een schaalmodel van de Eiffeltoren dat een buis rijst van die hoogte voorstelt. Op het 46ste vak staat onze maan. Bij haar kom je trouwens ook uit als je weer een ander raadsel oplost: hoe hoog wordt een vel papier als je het 42 keer zou kunnen dubbelvouwen?
Op het 62ste vakje staat Voyager 1, het door mensen gemaakte object dat zich het verst van de aarde bevindt. Het is nauwelijks voor te stellen wat een buis rijst tot die afstand betekent. Het laatste vakje is leeg, en zo omarmt dit schaalmodel het onvermijdelijke falen van zijn missie. Uiteindelijk gaat exponentiële groei de grenzen van onze verbeelding te buiten.
Schrijf je in op onze nieuwsbrief
En blijf op de hoogte van de laatste inzichten in wetenschap en technologie.