Wanneer het leven in 8 of 24 dimensies meer comfort biedt

Om de vier jaar worden enkele jonge wiskundigen beloond met een Fieldsmedaille voor het baanbrekend werk dat ze geleverd hebben voor hun 40ˢᵗᵉ verjaardag. De prijs is genoemd naar de Canadese wiskundige John Charles Fields en wordt uitgereikt door de Internationale Wiskundige Unie op het vierjaarlijkse Internationaal Wiskundecongres. Sinds de eerste editie in 1936 werden twee Belgen bekroond: Pierre Deligne in 1978 en Jean Bourgain in 1994. De winnaars van de editie van 2022 waren Maryna Viazovska, James Maynard, June Huh en Hugo Duminil-Copin. Wie is de Maryna Viazovska, de tweede vrouw die deze eer te beurt valt?

Maryna Sergiivna Viazovska © Petra Lein via Wikimedia

Maryna Sergiivna Viazovska (Kyjiv, 1984) is een Oekraïense wiskundige en hoogleraar aan de Technische Universiteit van Lausanne. Ze heeft zichzelf in 2016 op de wiskundekaart gezet door het probleem van de optimale stapeling van hyperbollen op te lossen in dimensie 8 en dimensie 24.

Een beetje uitleg en duiding is hier zeker op zijn plaats. Hoewel objecten in een wereld met meer dan 3 dimensies moeilijk te visualiseren zijn, is er geen enkel beletsel om met een wiskundige formule de afstand tussen twee punten te berekenen, ook al hebben deze punten 8 of 24 coördinaten. Dus is het ook niet moeilijk om in ieder punt van dergelijke (hyper)ruimte een (hyper)bol met straal R te definiëren, namelijk alle punten die maximaal afstand R van een gegeven middelpunt verwijderd zijn. Merk de gewoonte op om het voorvoegsel “hyper” te gebruiken zodra we in een wereld duiken met meer dan 3 dimensies. In dimensie 2 (het vlak) is de term “cirkelschijf” dan weer meer gebruikelijk.

Nu is er een tak in de wiskunde waar men zich bezighoudt met het zoeken naar de meest efficiënte strategie om kopieën van een gegeven object in een gegeven ruimte te stapelen. Efficiënt betekent dat we zo weinig mogelijk ruimte onbenut laten. In het geval van identieke schoendozen is dit geen uitdaging, die kunnen we stapelen met 0% plaatsverlies.
Maar zoals altijd ziet een wiskundige tal van opportuniteiten om de moeilijkheidsgraad op te krikken. Bollen zijn bijvoorbeeld minder stapelvriendelijk dan dozen, want ze hebben geen platte zijvlakken. Maar we kunnen ook de dimensie van de ruimte verhogen, of objecten met gaten of deuken toelaten, of waarom geen twee of meer objecttypes beschouwen?

Een stapel appels en peren gespot in Zeeland. © Rudi Penne

Sinds mensenheugenis weet iedere fruitkramer hoe hij appelsienen of ander bolvormig fruit het best stapelt om zo weinig mogelijk ruimte in te nemen.

Hij schikt de bollen in horizontale lagen volgens een zeshoekig roosterpatroon, met iedere laag verschoven zodat de bollen perfect in de openingen van de laag er onder vallen.

Maar het heeft lang geduurd vooraleer de wiskundigen begrepen wat marktkramers al lang wisten. Om de efficiëntie van een stapelingsstrategie te meten, beschouwen wiskundigen het volume van de gestapelde objecten, gedeeld door het volume van de ruimte waarin gestapeld wordt, de stapeldichtheid genoemd. Als we ons enkel op de stapelstrategie willen concentreren, laten we de vorm en afmeting van de container of het magazijn buiten beschouwing en gaan we uit van een onbegrensde ruimte.
Het tweedimensionale stapelvraagstuk voor cirkelschijven (identieke muntstukken) mag dan voor de hand liggend lijken, pas in 1890 kon de wiskunde formeel bevestigen (Theorema van Thue) dat het hexagonaal patroon de optimale schikking levert (in een onbegrensd vlak). Hierbij raakt iedere cirkel exact 6 omliggende cirkels en wordt de hoogst mogelijke stapeldichtheid bereikt, namelijk π/12 (ongeveer 91%). Het maakt ons nederig om te merken dat bijen geen wiskunde nodig hebben om hun honingdruppels in dit optimale patroon van regelmatige zeshoeken te laten opdrogen.

De regelmatige schikking van de fruitkramer levert een stapeldichtheid van ongeveer 74%. Dit betekent dat toch meer dan ¼ van de ruimte leeg en onbenut blijft. Johannes Kepler vroeg zich af of er misschien niet een meer efficiënte bolstapeling bestaat, misschien met een minder mooie roosterstructuur, maar met een hogere stapeldichtheid. In 1611, in een artikel over de zeshoekige structuur van sneeuwvlokken, opperde hij dat geen enkele bolstapeling meer efficiënt is dan de gekende dichtheid van 74%. Als gewone stervelingen zoiets beweren wordt dit als een wilde gok bestempeld, maar omdat de auteur Kepler heette, kreeg de onbewezen uitspraak de status van “vermoeden”.

Mysterieuze waarneming

Het heeft ongeveer 400 jaar geduurd alvorens het vermoeden van Kepler bewezen en als een formeel wiskundig feit (stelling) aanvaard werd. Het bewijs werd in 1998 geleverd door Thomas Hales, en bestond uit 250 pagina’s en 3 gigabyte computercode en -berekeningen. Als een bewijs voor een deel uit computeroutput bestaat, is het niet eenvoudig om de correctheid voor 100% na te gaan. Om alle twijfels weg te nemen lanceerde Hales het Flyspeck-project dat in 2014 een formeel bewijs opleverde dat automatisch kon gecontroleerd worden. Samen met 21 medewerkers publiceerde hij het resultaat in 2015 op arXiv.

Toen in 1998 de kranten bekend maakten dat een wiskundige professor (eindelijk) bewezen had wat de meeste efficiënte bolstapeling is, waren de groentetelers niet onder de indruk. Zij wisten immers al lang hoe ze hun appelsienen moesten stapelen, ze waren eerder vragende partij naar suggesties voor artisjokken. Deze uitdaging is voorlopig te hoog gegrepen, want artisjokken hebben een grillige vorm met uitsteeksels, uitsparingen en holtes. Wiskundigen zijn al blij als ze de optimale stapeldichtheid kunnen bepalen voor convexe objecten, dus zonder deuken of blutsen.

Deze geschiedenis verklaart waarom we niet genoeg onder de indruk kunnen zijn van de krachttoer van de recente Fields-laureate Viazovska. Zij bewees dat in dimensie 8 de Liegroep-rooster E8 en in dimensie 24 de Leech-rooster de meest efficiënte bolschikking leveren. In deze laatste stapelstructuur wordt iedere bol omringd door 196500 andere hyperbollen. Anderzijds kan ik me best voorstellen dat sommige lezers met hun oogbollen rollen en zich afvragen wat de wiskundigen in godsnaam verloren hebben in dimensie 8 en 24. Het mogelijk praktische antwoord hierop luidt dat de boodschappen van digitale communicatie op het internet, met ruimtesondes of tussen smartphones in pakketjes verzonden worden. Deze pakketjes kunnen als punten in een hogere dimensie beschouwd worden. Omdat tijdens de transmissie storingen optreden met binaire foutjes tot gevolg, worden deze pakketjes gecodeerd in nog langere vectoren om automatische foutcorrectie toe te passen. Uiteindelijk zal ieder verzonden pakketje wiskundig gezien een middelpunt van een (hyper)bol zijn, waarvan de straal een maat is voor het aantal bits die kunnen gecorrigeerd worden. Hoe groter de stapeldichtheid van deze bollen, hoe meer informatie we kunnen verzenden met een vooropgestelde correctiecapaciteit.

Maar wiskundigen zijn vooral geïntrigeerd door de mysterieuze waarneming dat 8 en 24 blijkbaar uitzonderlijk stapelvriendelijke dimensies zijn, die roosterstructuren toelaten met een schat aan symmetrieën. Voorlopig kunnen we dit geschenk enkel bewonderen, want we begrijpen nog niet ten volle waarom dit zo is. Voor haar bewijs van de optimale bolstapeling in dimensie 8 had Viavoska maar 23 pagina’s nodig, een groot contrast met het werk van Hales in dimensie 3. Inderdaad, 3D mag dan wel onze vertrouwde wereld zijn, voor wiskundigen is het leven in 8D of 24D soms veel eenvoudiger.