Wat Newton niet deed

Sinds vorig jaar doceer ik klassieke mechanica aan filosofiestudenten in het internationale programma. Ze volgen de minor Liberal Arts, wat verwijst naar de zeven vrije kunsten. Daartoe behoren zowel de traditionele menswetenschappen (grammatica, logica en retorica) als vier wiskundige wetenschappen: rekenkunde, meetkunde, muziektheorie en astronomie.

Tussen de basiskennis wiskunde van studenten uit pakweg China en de VS zit een wereld van verschil. Het is dan ook een uitdaging om deze groep studenten samen door mijn vak te loodsen. In tegenstelling tot studenten uit exacte, technische of medische wetenschappen krijgen ze bovendien geen vakken die verderbouwen op de klassieke fysica. Ik werk in mijn colleges dus minder aan automatisatie en focus meer op inzicht in de historische ontwikkeling van de mechanica.

De newtoniaanse mechanica is gebaseerd op drie wetten. De tweede wet van Newton stelt dat de kracht op een voorwerp evenredig is aan de versnelling van het voorwerp, met de massa als evenredigheidsconstante. In symbolen schrijven we dat als F = m * a.

De kracht F en de versnelling a staan in het vet om aan te geven dat het vectoren zijn. Dat betekent dat niet alleen hun grootte ertoe doet, maar ook de richting. Bovendien is de versnelling a de tweede afgeleide naar de tijd van een positievector. De vector a geeft dus de verandering van de verandering van de positievector als functie van de tijd weer.

Isaac Newton heeft de vergelijking F = m * a echter nooit opgeschreven. In zijn boek Wiskundige beginselen van de natuurfilosofie uit 1687 schreef hij weliswaar drie wetten neer, maar niet in formulevorm. Er zijn minstens vier redenen waarom dat voor hem onmogelijk was.

Ten eerste bestonden vectoren nog niet in die tijd. Ten tweede heeft Newton zijn hele mechanica gebaseerd op meetkundige bewijzen, die van oudsher beschouwd werden als de zekerste vorm van kennis. Nochtans was Newton een van de grondleggers van de calculus, die hem in staat stelde veranderingen uit te drukken via afgeleiden. Pas in de generaties na Newton zijn fysici de calculus gaan gebruiken in de mechanica, omdat de meetkundige constructies te omslachtig werden.

Ten derde was de wiskunde van oorsprong retorisch van aard. Ook Newton schreef zijn wetten nog in woorden, in het Latijn. Gaandeweg gingen wiskundigen veelgebruikte termen afkorten (bijvoorbeeld p voor plus) en vervangen door symbolen (zoals de +). Mede dankzij de komst van gedrukte boeken werd de notatie gestandaardiseerd. Aan het einde van de 17de eeuw gebruikten wiskundigen het gelijkheidsteken al courant. Toch konden fysici hun wetten nog niet als absolute vergelijkingen noteren.

Dat brengt ons bij de vierde reden: waar het ­Newton en zijn tijdgenoten nog aan ontbrak was een algemeen systeem van eenheden. Natuurkundigen konden zich wel als volgt uitdrukken: ‘Als de kracht op een constante massa verdubbelt, verdubbelt de versnelling’. Zo bekom je een vergelijking van verhoudingen: F₁/F₂ = a₁/a₂. Fysici in onze tijd kunnen die verhoudingen weglaten uit hun vergelijkingen, door bij elke grootheid impliciet een verhouding met de gepaste SI-eenheden te veronderstellen.

Newton had zijn wet dus om een veelvoud aan redenen onmogelijk kunnen formuleren als F = m * a. Zijn Latijnse formulering van de tweede wet laat zich vertalen als: ‘Een verandering in beweging is evenredig met de uitgeoefende drijfkracht en vindt plaats langs de rechte lijn waarin die kracht wordt uitgeoefend’.

Er is ruimte voor debat of dat precies overeenkomt met F = m * a. Is ‘een verandering in beweging’ bijvoorbeeld precies hetzelfde als een versnelling, of moeten we dat eerder zien als de verandering van impuls (massa maal snelheid)? Newton maakte dat nergens expliciet. Er lag dus nog werk op de plank voor de volgende generaties.

Het was uiteindelijk Leonhard Euler die voor het eerst de formule F = m * a afleidde. In 1752 was dat. Pas met het werk van Joseph-Louis Lagrange was de klassieke mechanica min of meer af – bijna een eeuw na Newtons publicatie. Mijn studenten krijgen minder tijd om het allemaal te verwerken. Ik wens hen veel kracht toe – uiteraard in de gepaste SI-eenheid: de Newton.