Van torens tot Taylor: dit schuilt er achter de knop ‘sin’ op je rekenmachine

Voor veel mensen is de sinus een relikwie uit de middelbare school, verbonden met een abstracte meetkundige tekening of een golvende grafiek waarop je formules moest toepassen. Je berekende waarden met je rekenmachine en moest vooral niet vergeten in radialen te werken. Zelden wordt verteld dat de sinus ontstond uit praktische noodzaak, namelijk als hulpmiddel om moeilijk te bepalen afstanden te meten. Landmeters gebruikten hem om de hoogte van een toren te bepalen zonder erin te klimmen, astronomen om de sterrenhemel te bestuderen en zeevaarders om hun positie op open zee te schatten.

De sinus van een hoek kun je eenvoudig definiëren met een rechthoekige driehoek. Neem een hoek en teken een rechthoekige driehoek waarin één been van de hoek een rechthoekszijde vormt en de andere de hypotenusa. De sinus van de hoek is dan de verhouding tussen de lengte van de overstaande rechthoekszijde en de lengte van de hypotenusa. Die verhouding blijft dezelfde, ongeacht de grootte van de driehoek. Kies je een hypotenusa van lengte één, dan geeft de sinus meteen de lengte van de overstaande zijde. Zo wordt de sinus een getal dat alleen van de hoek afhangt.

In de Griekse oudheid was het berekenen van zijn waarden een hele klus. Men werkte eerst met koorden in een cirkel, een verwant maar omslachtiger concept. In India schakelde men over op halve koorden, wat precies overeenkomt met onze sinus. Islamitische geleerden stelden vervolgens uitgebreide tabellen op met uitgerekende waarden, verkregen via meetkundige constructies en slimme rekenmethoden. Omdat de sinus van een willekeurige hoek meestal niet exact kan worden berekend, moet men hem benaderen. Dat lukte vroeger reeds verrassend goed en deze tabellen waren eeuwenlang een essentieel hulpmiddel.

Met de sinus kunnen tal van praktische problemen worden opgelost. Wil je de hoogte van een toren in de verte bepalen, dan neem je de afstand van waar je staat tot de voet van de toren en de hoek tussen de grond en de kijklijn naar de top. De hoogte kun je dan schatten door de gemeten afstand te vermenigvuldigen met de sinus van de hoek (die dan ongeveer gelijk is aan de tangens). Dezelfde redenering ligt aan de basis van astronomie- en navigatievragen. Bovendien verschijnt de sinus in alles wat trilt, draait of golft: geluidsgolven, wisselstroom, radiosignalen, gps-systemen en zelfs digitale beelden. Zodra iets periodiek beweegt, duikt de sinus op.

Die historische tabellen waren dus van onschatbare waarde. Misschien denk je dat je rekenmachine of computer al die eerder berekende waarden gewoon ergens bewaart, alsof er intern een gigantische lijst zit met de sinus van elke mogelijke hoek. Dat kan natuurlijk niet. Er zijn oneindig veel mogelijke invoerwaarden, dus de machine moet rekenen. Maar hoe?

Al in de zeventiende en achttiende eeuw werd een elegante oplossing gevonden. Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibniz introduceerden het begrip afgeleide, waarmee veranderingen van functies kunnen worden bestudeerd. Brook Taylor en Colin Maclaurin ontdekten dat je met die afgeleiden een functie in de buurt van een punt kunt opbouwen. Ken je de waarde van een functie en al haar afgeleiden in bijvoorbeeld nul, dan kun je een reeks construeren die de functie benadert als volgt:

Dat werkt omdat de afgeleiden beschrijven hoe de functie in het punt stijgt, daalt en kromt. Een Taylorreeks kun je steeds zien als het bouwplan van een functie. Voor de sinus is dit bijzonder elegant, omdat zijn afgeleiden zich in een vast patroon herhalen: sinus, cosinus, min sinus, min cosinus, en dan opnieuw. Evaluatie in nul levert een eenvoudige structuur op die uitmondt in de bekende machtreeks die rond 0 snel een goede benadering is:

De computer haalt de sinus dus niet uit een verborgen tabel, maar reconstrueert hem ter plekke uit dat bouwplan. In een moderne rekenmachine of op je computer gebeurt dit razendsnel. Eerst wordt de hoek herleid tot een klein interval, gebruikmakend van de periodiciteit van sinus en goniometrische formules. Daarna berekent de software een aantal termen van de reeks en telt deze op waardoor een zeer nauwkeurige benadering wordt bekomen.

Achter de knop ‘sin’ schuilt dus geen magisch geheugen, maar een efficiënte numerieke berekening. Wat ooit begon als een praktisch hulpmiddel leeft vandaag voort als algoritme.