Puzzels

• Je hebt 8 batterijen: 4 volle en 4 lege. Alleen weet je niet welke vol is of leeg, ze zien er alle hetzelfde uit. Je hebt een zaklamp, waarin telkens 2 batterijen passen. Hoeveel keer moet je minstens testen door 2 batterijen in de zaklamp te steken om er zeker van te zijn dat je twee volle batterijen hebt?

 (antw: Dit kan in 7 keer. Deel de 8 in groepen van 2: stel dat je na 3 koppels nog steeds geen licht hebt, dan weet je zeker dat er in elk van die koppels minstens 1 lege batterij zat. Er zijn nog 2 niet geteste batterijen over, waaronder minstens 1 werkende, en kies gewoon een ander koppel. Met die 4 kun je 4 combinaties maken, waarvan er zeker 1 werkend zal zijn.)

• In een bepaald toernooi speelt elke speler juist 1 keer tegen elke andere speler. Bij ieder spel is er een winnaar. Toon dan aan dat er een speler S bestaat waarvoor het volgende geldt: voor gelijk welke andere speler A geldt er dat S gewonnen heeft van A, of S heeft gewonnen van een speler die van A gewonnen heeft.

(antw.: Neem voor S een speler met het meest aantal overwinningen. Ofwel heeft S van iedereen gewonnen en heeft hij al zeker de eigenschap die we wensen. Ofwel is er minstens 1 speler A die tegen S gewonnen heeft. Als A bovendien tegen alle spelers die van S verloren, gewonnen had, dan zou A minstens 1 overwinning meer hebben dan S. Dit is uitgesloten. Voor deze speler A bestaat er dus zeker een speler X die van S verloren maar tegen A gewonnen heeft.)

• Drie glazen hebben een inhoud van 3, 5 en 8 dl. Het grootste glas is helemaal vol water, de andere zijn leeg. Hoe kan je enkel door overgieten (van een glas in een ander) in een van de glazen 4 dl water krijgen.

(antw.: Noem de glazen G3, G5 en G8. Vul G5 vanuit G8, en daarna G3 vanuit G5. In G5 zit nu 2 dl water. Ledig G3 in G8. Nu bevat G8 6 dl. Nu gieten we de 2 dl uit G5 over in G3 (waar dus nog ruimte voor 1 dl is). Dan wordt G5 opnieuw helemaal gevuld vanuit G8. Uiteindelijk gieten we uit G5 in G3 tot deze laatste vol is. Nu bevat G5 de gevraagde 4 dl.)

De oplossing van puzzel 2 is 16.

Platte piramide

(Op een spiegeling na is dit de enige oplossing om 15 kaarten volgens de opgelegde voorwaarde in een driehoek te schikken.)

Op de rooster: https://math.stackexchange.com/questions/732379/the-right-triangle-game

Kalenderkibbelen: Het is vandaag zaterdag!

Het gesprek vond gisteren plaats. Volgens Darren was het gisteren vrijdag, en volgens Delia was het eergisteren donderdag. Toen spraken ze de waarheid, maar hun andere antwoorden waren telkens gelogen.

Keerzijde van de kaart: Enkel de twee uiterst linkse kaarten dienen omgedraaid ter controle. De bewering impliceert dat aan weerzijde van de B een 6 staat en achter de 4 zeker geen B. Beide voorwaarden moeten gelden, zodra een van beide voorwaarden niet opgaat dan is de bewering fout.

Ontsleuteld: Etienne legt de ring in het kistje, doet het op slot met een hangslot en verstuurt het naar Linda (terwijl hij uiteraard de bijbehorende sleutel bij zich houdt). Linda kan bij ontvangst de kist niet openen, maar kan het wel dubbel sluiten door een van haar hangsloten te gebruiken. Het kistje met de twee hangsloten stuurt ze terug naar Etienne (terwijl ze haar sleutel bij zich houdt). Bij ontvangst verwijdert Etienne zijn hangslot, zodat het kistje nu enkel gesloten is met het hangslot van Linda. Daarna stuurt hij het kistje opnieuw naar Linda, die het zonder problemen kan openen om de ring te bewonderen.
 
Koppig: Nee, het zal de ridder nooit lukken. Controleer zelf dat bij elk van de vier mogelijkheden het aantal terug aangroeiende koppen min het aantal afgehakte hoofden een (positief of negatief) drievoud is. Het cumulatief effect na meerdere ridderlijke daden blijft een drievoud (meer of minder dan bij de start). Omdat de draak bij de start 100 koppen heeft, kan de ridder dit nooit op nul brengen, want 100 is geen drievoud. (We hebben in de opgave aangenomen dat de ridder ook nooit minder koppen mag afhakken dan de opgegeven hoeveelheden).
 
Bittere verdeling: 43 bitterballen kan je niet in porties van 6, 9 en 20 bestellen. Ieder groter aantal lukt wel (bijvoorbeeld 44 = 1 X 6 + 2 X 9 + 1 X 20). De reden waarom het vanaf een bepaalde hoeveelheid altijd lukt is het feit dat (6,9,20) geen gemeenschappelijk deler hebben (behalve 1). We noemen 43 het Fröbeniusgetal voor 6, 9 en 20 (voor de luie medemens: dit kan je laten berekenen door WolphramAlpha.com)
 
6 :(1 – 3:4) = 24