De vaas van de Sluse

Veel drinken is de boodschap, bij warm weer. En zorg ervoor dat je steeds drinken bij je hebt. Daarvoor is een niet al te zware beker die je kan vullen met oneindig veel water uitermate geschikt. Een wiskundige kijk op de zaak.

Evangelista Torricelli (1608-1647) is vooral bekend door zijn buis en zijn trompet. Deze laatste zie je in de afbeelding bovenaan deze blog. De trompet van Torricelli (ook wel hoorn van Gabriel genoemd) is een paradoxaal iets. Het is een omwentelingsoppervlak dat ontstaat door een stuk van een hyperbool te wentelen om een van zijn asymptoten. Het resultaat is een oppervlak waarvan je de inhoud kan berekenen, en ook de manteloppervlakte: de oppervlakte van het oppervlak zelf. Merk op dat de trompet oneindig ver doorloopt.

Torricelli bewees in 1641 dat de manteloppervlakte oneindig groot, maar de inhoud eindig is. Dit kwam hard aan in die tijd, omdat men dacht dat zoiets onmogelijk was: als het ding oneindig groot is, dan kan de inhoud niet eindig zijn. Torricelli's illustere tijdgenoten waren er eerst van overtuigd dat hij gewoon verkeerd had gerekend. De filosoof Thomas Hobbes (1588-1679) zei zelfs in dit verband: To understand this for sense it is not required that a man should be a geometrician or a logician, but that he should be mad. 

De trompet van Torricelli geeft aanleiding tot de bekende schildersparadox:

Stel dat je de binnenkant van de trompet wil schilderen, dan lijkt dat een onbegonnen zaak omdat de oppervlakte die je dan moet schilderen oneindig groot is. Maar, wat te denken van het volgende alternatief? Zet de trompet op zijn zijkant en vul ze volledig met verf (inhoud = eindig!). Dan is de binnenkant ineens mee geschilderd, toch?

We kunnen de trompet op deze manier ook bekijken als een soort beker, oneindig groot maar met een eindige inhoud. Niet precies wat we zoeken, dus. Na de vondst van Torricelli sloegen René François Walter de Sluse (1622-1685), een Luiks wiskundige, en Christiaan Huygens (1629-1695) de handen in elkaar en gingen op zoek naar meer van dergelijke wonderen.

Hiervoor onderzochten ze de eigenschappen van een kromme die al van in de oudheid bekend was: de cissoïde van Diocles, al beschreven rond 200 jaar voor Christus door de Griekse wiskundige Diocles. Diocles bestudeerde de kromme omdat hij er een van de Delische problemen mee kon oplossen, namelijk de verdubbeling van de kubus:
om van de pest af te geraken, zo zegt de legende, moesten de inwoners van Athene van de god Apollo hun altaar ter ere van hem verdubbelen. Ze maakten een nieuw altaar met zijden twee keer zo lang als voorheen, maar de pest verergerde: Apollo was niet tevreden. De bedoeling was inderdaad dat ze het volume van het altaar verdubbelden, en dat doe je door de zijden te vermenigvuldigen met $\sqrt[3]{2}$.

Je ziet hier een tekening van de cissoïde, die bepaald wordt door een cirkel die raakt aan een rechte:

De punten van de cissoïde zijn als volgt gedefinieerd. Een rechte door het punt $O$ snijdt de cirkel in het punt $M_1$ en de gegeven rechte in het punt $M_2$. Het punt $M$ van de cissoïde dat op deze rechte ligt, is zo gekozen dat de afstand van O tot $M_1$ gelijk is aan de afstand van $M$ tot $M_2$.

Om te laten zien hoe je met deze kromme de verdubbeling van de kubus kan bewerkstelligen, nemen we een vierkant met zijde 1 (groen op de figuur), een cirkel met straal 1 met als raaklijn de streepjeslijn op de figuur, en we construeren de cissoïde die hoort bij deze cirkel en deze lijn.

En dan gaan we verder zoals op de figuur. Teken achtereenvolgens de lijntjes genummerd 1, 2, 3 en 4 en het snijpunt van lijntje 4 met de horizontale as laat je toe om het blauwe vierkant met zijde $\sqrt[3]{2}$ te construeren.

Huygens en de Sluse dachten dat je met de cissoide iets gelijkaardigs had als met het oppervlak van Torricelli. Merk op dat in die tijd het berekenen van inhouden en oppervlaktes bepaald door krommen een hot topic was, waar veel over gecorrespondeerd werd. Inderdaad, de samenwerking tussen Huygens en de Sluse verliep per brief. Hier zie je een fragment van de brief die Huygens schreef naar de Sluse op 28 mei 1658.

Je ziet er ook een deel van de cissoïde getekend. Ze ontdekten dat als je het oranje vlakdeel (zie volgende figuur) ingesloten door de cissoïde, de asymptoot en de horizontale as wentelt om zijn asymptoot, dat de inhoud inderdaad eindig groot is. Maar bovendien, vond de Sluse, was het zo dat als je dat vlakdeel (zie figuur met het blauw) wentelt om de verticale as, dat de inhoud ook eindig groot is!

Het resultaat is een beker die er zo uitziet:

De beker, die soms ook de vaas van de Sluse wordt genoemd, loopt wel door tot oneindig, hij is oneindig hoog. Maar je hebt wel maar eindig veel materiaal nodig om hem te maken! En er kan oneindig veel in. De Sluse zelf zegt het zo, in zijn brief naar Huygens van 12 april 1658:  ... pondere non magni, quod interim helluo nullus ebibat. (De beker weegt niet veel, maar toch zal de zwaarste drinker hem niet leegkrijgen.)


Dus: ideaal voor bij erg warm weer. (Ter info: bij het schrijven van deze blog meten we temperaturen op van $35^{\circ}$C.)


Gerelateerde artikels

Volstaan multiplechoicevragen om een (politieke) mening samen te vatten?
Eos Blogs

Volstaan multiplechoicevragen om een (politieke) mening samen te vatten?

Voor politieke peilingen vallen onderzoekers en nieuwsmedia doorgaans terug op kwantitatieve onderzoeksmethodes, waarbij meningen door middel van vragenlijsten worden omgezet in overzichtelijke cijfers en grafieken. Een mening valt echter niet altijd binnen de afgelijnde vraag- en antwoordmogelijkheden van een multiplechoicevraag. Volstaan kwantitatieve onderzoeksmethodes om de complexiteit van gedachten, ervaringen en meningen weer te geven?

Minder draineren voor meer water
Eos Blogs

Minder draineren voor meer water

We zijn in Vlaanderen kampioen in draineren. Dat is vaak nodig om land geschikt te maken voor productie van voedsel of om te wonen. We staan tegelijk ook hoog op de wereldranglijst van regio’s met waterstress (23ste! op een totaal van 164 landen). We moeten dus enerzijds water afvoeren wanneer het te nat is, maar anderzijds ook veel meer water vasthouden in de grond, zodat we het kunnen gebruiken als het droog is. Anders gaan draineren is de boodschap!