Rekenen maar!

Voor de komst van de computers gebeurden vele berekeningen met de hand ... of gewoon uit het hoofd. Op die manier werden bijvoorbeeld tabellen met priemgetallen samengesteld, of goniometrische tabellen, of logaritmentafels. Meer dan eens werd daarvoor de hulp van een rekenwonder ingeroepen.

Het verhaal van de kleine Carl Friedrich Gauss (1777-1855) is welbekend. Toen Gauss in de lagere school zat, gaf de onderwijzer zijn klas een oefening op, waarvan hij hoopte dat ze er wel een tijd mee bezig zouden zijn: bereken de som van de getallen van 1 tot en met 100. Gauss was hiermee op een, twee, drie klaar (het antwoord is 5050), niet omdat hij zo goed kon rekenen, maar omdat hij de truk doorzag. Je kan die getallen best zo samennemen $(1+100)+(2+99)+(3+98)+\ldots$.
Zo krijg je 50 groepjes van 101, dus 5050 samen. Gauss was geen rekenwonder, maar hij was wel geweldig goed met getallen.

Een rekenwonder is geweldig goed in hoofdrekenen, zo goed dat het opvalt. Uit teksten van door de eeuwen heen kennen we een aantal van die rekenwonderen. Het ging zelden om wiskundigen. John Wallis (1616-1703) was een uitzondering. Over Wallis, die vooral bekend is om zijn productformule voor het getal $\pi$:

$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2 \cdot 2} {1\cdot 3}\cdot \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7} \cdot \ldots $$

wordt gezegd dat hij op een bepaald moment de vraag kreeg om de vierkantswortel te trekken uit een getal met 53 cijfers, en dat hij dat uit het hoofd deed, en daar een maand later mee klaar was.

Het beroemdste rekenwonder in de geschiedenis is Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861). Al van kleins af aan viel hij op door zijn rekentalent. Hij kon met grote getallen rekenen in zijn hoofd, en om de vierkantswortel van een getal van 100 cijfers te vinden, had hij (zo schijnt het) 52 minuten nodig. Wiskundigen deden beroep op Dase omdat hij snel dingen kon berekenen waar zij veel meer tijd voor nodig hadden. 
De Oostenrijkse wiskundige von Schulz Strasznicky gaf hem in 1844 de opdracht decimalen van het getal $\pi$ te berekenen met de volgende formule (die nu bekend staat onder de naam Formule van Strassnitzky):

$$ \frac{\pi}{4} = \textrm{Bgtg} \frac{1}{2} + \textrm{Bgtg} \frac{1}{5} + \textrm{Bgtg} \frac{1}{8} \ .$$ 
(Voor de wiskundigen onder de lezers: hier zie je een bewijs zonder woorden van deze formule.)

Formule van Strassnitzky

De berekening gebeurde met een reeks, en hield in dat Dase uitdrukkingen van de vorm: een constante maal een macht van $\frac{1}{2}$ of $\frac{1}{5}$ of $\frac{1}{8}$ bij elkaar moest optellen. Maar in die berekeningen moest hij met voldoende decimalen rekenen om uiteindelijk als resultaat de eerste 205 cijfers na de komma van $\pi$ te kunnen opschrijven, twee maanden later. Dat gebeurde allemaal in zijn hoofd, en ondertussen ging hij verder met zijn gewone werk. 's Nachts zette hij zijn berekeningen even stop, om die dan 's morgens te hervatten.
Het resultaat is gepubliceerd, in het belangrijke wiskundetijdschrift Crelle's Journal:

De eerste 200 decimalen van $\pi$ uit het hoofd berekend door Zacharias Dase in 1844.

Neem zeker even de tijd om de tekst te lezen, dan zie je dat ze in 1850 ook al bang waren voor een braindrain!

Hoe een rekenwonder precies te werk gaat bij zijn berekeningen, dat is niet altijd duidelijk. Maar soms geven ze hun geheimen gedeeltelijk prijs, dat is bijvoorbeeld zo in het geval van de ingenieur George Parker Bidder (1806-1878). Hier lees je meer. 

Bij Epsilon uitgaven is er recent een boek verschenen van de hand van een rekenwonder van nu, nl. Willem Bouman (1939). Hij hoort bij de beste hoofdrekenaars ter wereld.

Willem Bouman, De kunst van het hoofdrekenen, Epsilon Uitgaven Amsterdam (2017) 246 pagina's.

In dit boek legt Willem Bouman in groot detail uit welke methodes hij bij het hoofdrekenen gebruikt. In zijn geval speelt het modulo-rekenen een erg grote rol. En het wordt al snel duidelijk dat ook een goed geheugen belangrijk is: het lukt maar goed als je een en ander uit het hoofd kent. Naast hoofdstukken over het zuivere rekenen, vind je er ook over het omrekenen van geld en over kalenderrekenen. 

Een aanrader voor al wie hoofdrekenen leuk vindt en er zich verder in wil verdiepen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Nog een ander wiskundige die tegelijkertijd ook een rekenwonder is, is Art Benjamin (1961). Kijk zeker eens naar dit filmpje, een TED-talk uit 2007 waarin Benjamin laat zien dat hij niet alleen een goede hoofdrekenaar is maar ook een knappe entertainer. Als je niet begrijpt hoe hij The impossible doet, denk dan aan de negenproef! Samen met Michael Shermer schreef hij in 2006 een boek Secrets of mental math (The Mathemagician's Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks) .

Ook Daniel Tammet (1979) kunnen we een rekenwonder noemen. Tammet, die het syndroom van Asperger heeft, werd beroemd doordat zijn boek Born on a blue day veel aandacht kreeg van de wereldpers. In 2004 werd hij houder van het Europees record decimalen van $\pi$ uit het hoofd opzeggen, met 22514 decimalen.

Hoofdrekenen wordt nu ( = na de komst van de goedkope rekentoestellen) wellicht als een soort ambacht bekeken. Maar goede rekenaars zijn voor de komst van de computers altijd nodig geweest. Zelfs toen er al computers waren, waren de human computers in bepaalde organisaties onmisbaar. Een mooi voorbeeld hiervan lees je in het boek Hidden Figures, van Margot Lee Shetterly, over de rol die vrouwelijke wiskundigen van Afro-Amerikaanse afkomst tijdens de Twee Wereldoorlog en later speelden bij de NASA. Zij deden de berekeningen die nodig waren om de ruimtewedloop te winnen.
Ondertussen is dit boek ook verfilmd.

Menselijke computer bij de NASA

Ook in Bletchley Park, waar tijdens de tweede wereldoorlog de codebrekers zaten (waaronder Alan Turing, de vader van de computer), waren de menselijke computers van enorm belang. Zie ook de film The imitation game.

Human computers in Bletchley Park