Een optreden in Big Brother bracht de Oostendse ‘koningin van het visserslied’ Lucy Loes vanaf  2000 op het voorplan. Met liedjes zoals ‘Op de vissenmarkt’ kreeg de Vlaamse Zangeres Zonder Naam sindsdien van het Oostendse stadsbestuur het ene eerbetoon na het andere. De recepties en bijbehorende foto’s van een Oostendse hoogwaardigheidsbekleder samen met de zangeres en een pladijsvis volgden elkaar op. Toch telt de stad Oostende ook één van de grootste wiskundigen uit de lage landen onder haar inwoners: Jean Bourgain, winnaar van de Fieldsmedaille, het wiskundige equivalent van de Nobelprijs. Vele jaren geleden, toen een andere Belgische prijs hem te beurt viel, kreeg de ‘Nobelprijs’-winnaar één ontvangstje op het stadhuis, waarbij de burgemeester zich liet vervangen door de eerste schepen.

Het is dan ook te begrijpen dat de wetenschapper niet meer zo gebrand is op die wereldse erkenningen. Toen het Paleis hem na een zoveelste grote internationale prijs toch uitnodigde, moest de rector van de Vrije Universiteit Brussel hem verontschuldigen, omdat hij wegens tijdsgebrek het ontvangen van een doctoraat ‘honoris causa’ in een meer wetenschappelijke omgeving verkoos. In elk geval, ondanks de opeenvolgende grootste erkenningen voor zijn werk, zou de stad Oostende zelf geen belangrijke stappen meer ondernemen om zich over haar verloren wiskundige zoon te ontfermen.

Het doet denken aan de legende over de stad Lier die als tegenprestatie voor haar hulp aan Hertog Jan IV (1403-1427) in zijn strijd tegen Mechelen de gunst kreeg te mogen kiezen tussen een veemarkt en een universiteit. Een pauselijke bul van Paus Martinus V bevestigde hun keuze, en sinds 1425 ook hun bijnaam van ‘schapenkoppen’. Het voorrecht voor een universiteit lieten de Lierenaars aan Leuven. 

De geschiedenis lijkt zich nu te herhalen. Oostendse politici verklaren wel een wetenschapspark in hun stad te willen promoten, maar iemand die tot de hoogste wereldtop opklom dankzij het onderwijs in de stad, wordt opzijgeschoven voor een electoraal onmiddellijk lonende krantenfoto met een pladijsvis. Misschien is hier een nieuwe bijnaam geboren: de ‘pladijskoppen’?

Einstein Drive

Jean Bourgain werd geboren in 1954 in Oostende als zoon van Marguerite Reuse en Réné Bourgain, beiden gereputeerde artsen. Als overtuigde geëngageerde idealisten waren zij bekend bij hun stadsgenoten door hun sociale instelling, al had Réné Bourgain een plaatselijk minder bekend dubbelleven als hooggewaardeerd vorser aan de Vrije Universiteit Brussel. De jonge Jean Bourgain begon maar laat te spreken, en ook in het lager onderwijs aan de Oostendse Albertschool zou hij maar laat openbloeien. Maar aan het atheneum van Oostende werd hij ‘ontdekt’ door leraar Emile van Outryve, die het wiskundige universum aan hem openbaarde toen hij vijftien jaar oud was. Na zijn secundaire studies in Oostende, haalde hij snel de graad van doctor in de wiskunde, aan de VUB, en dit op de jonge leeftijd van 23 jaar. Hij maakte zijn proefschrift in zowat één jaar.

Er volgde een eerste internationale prijs, de Salemprijs, in 1983, en in 1985 viel hem een van de hoogste wetenschappelijke prijzen in België te beurt, de Damry-Deleeuw-Bourlart-prijs. Daarna sleepte hij zowat alle andere grote wiskundige prijzen in de wacht. Er was de Langevinprijs (1985) van de Franse ‘Académie des Sciences’, de erg prestigieuze Cartanprijs (1990, genoemd naar een van de belangrijkste wiskundigen van de vorige eeuw, Elie Cartan), de hoog aangeslagen Ostrowskiprijs (Zwitserland, 1991), en ten slotte in 1994 de ‘Fields Medal’. Die laatste is enigszins de wiskundige tegenhanger van de Nobelprijs, al is hij vierjaarlijks en werd er voor de laureaten een leeftijdsgrens van 40 jaar ingesteld. Sinds 2003 er is ook de ‘Abel Prize’ die om de titel van belangrijkste prijs wedijvert, maar waarom precies een Nobelprijs in de wiskunde ontbreekt, is stof voor een ander artikel.

Bourgain kreeg snel professoraten en gastlezingen aangeboden aan zowat alle prestigieuze instellingen. Al in 1981 werd hij professor aan de Vrije Universiteit Brussel, waar hij erg graag werkte. Na een verblijf van meer dan dertien jaar aan de VUB, als student, vorser en professor, verliet hij in 1985 de moederuniversiteit. Hij trok naar het ‘Institut des Hautes Études Scientifiques’ (IHES) in Bures-sur-Yvette (Frankrijk), en na enige tijd kwam hier een simultaanbetrekking bij aan de University of Illinois (VS). Het jaar 1988 bracht hij gedeeltelijk door aan de Hebreeuwse Universiteit van Jeruzalem, en 1991 aan het Caltech in de Verenigde Staten, als ‘Fairchild Distinguished Professor’, terwijl hij toch tijd vond voor wetenschappelijke symbioses (sic!) in Bonn, Warschau, Berkeley, Zürich en Leningrad, het huidige Sint-Petersburg.

Uiteindelijk vestigde hij zich, sinds 1994, zelfs nog vóór de Fieldsmedaille zijn prestige vergrootte, aan het ‘Institute for Advanced Study’ in Princeton. Albert Einstein was een van de stichters van de onderzoeksinstelling en het is dan ook niet toevallig dat Bourgains huidig adres aan de ‘Einstein Drive’ ligt. Bourgain bepaalt er zelf zijn salaris, naar zijn eigen inzicht. Hij geeft geen enkele ‘traditionele les’, alleen ‘uiteenzettingen’, en hiervoor doorkruist hij de wereld gedurende zowat de helft van het jaar. Verder begeleidt hij vier tot vijf studenten bij hun doctoraat, en vragen studenten van her en der om zijn raad, al zijn dit geen ‘studenten’ in de gewone zin van het woord. Zo zou zijn Australische pupil van Chinese afkomst, Terence Tao, zelf binnenkort de Fieldsmedaille kunnen krijgen. Merkwaardig is dat Tao een ‘Belgische opleiding’ kreeg, want hij begon als student van de Belg Elias M. Stein, die verbonden is aan de Universiteit van Princeton.

In 2002 zag hij zich bevorderd tot departementshoofd van Einsteins mathematisch nalatenschap. Het gebeurde tot eigen ongenoegen, want op die manier had hij ondanks twee secretariaatsmedewerkers minder tijd voor zijn geliefkoosde wiskunde. Het departement heeft negen topwiskundigen onder zijn dak, waaronder nog één Belg, de Franstalige Pierre Deligne. De twee Belgische vrienden zien elkaar elke dag, maar de vraag is eigenlijk niet in welke landstaal zij converseren, al spreken ze beiden goed de andere landstaal. In Princeton gaat het grapje dat Bourgain ook wiskunde doet in zijn slaap, en Deligne als hij de krant leest – en als ze met elkaar van gedachten wisselen, gaat het over wiskunde, in het Engels.

Nog andere Belgen, de al vermelde Elias Stein en ook Ingrid Daubechies, werken aan de Universiteit van Princeton, aan het departement Wiskunde, waar wel werkelijk ‘les’ wordt gegeven. Dit departement wordt voorgezeten door Andrew Wiles, bekend van (de mooie televisiedocumentaire over) de oplossing voor het vermoeden van Fermat (3²+4² = 5² maar voor derde machten en hoger lukken zo’n combinaties nooit: 3³+4³ = ?³). 

Oenologica

Jean Bourgain groeide op in Oostende als de zeven jaar oudere broer van zus Claire, en destijds speelde het hele gezin al eens een wedstrijdje ‘gemengd dubbel voor wetenschappelijke gezinnen’. Vader Réné was trouwens lange tijd voorzitter van de geliefde tennisclub van Middelkerke nabij Oostende. Een voorliefde voor de moderne muziek van Stravinsky tot Shostakovich werd hem misschien meegegeven door zijn moeder, die hem vele muzieklessen fluit gaf (zij stierf in 1999). Toch stamt zijn gastronomische interesse wellicht uit zijn tijd aan het Franse IHES, waar hij tenslotte een ‘eetstage’ (sic) volgde. Gelukkig voor de oenoloog zijn er ook in Princeton goede restaurants die zijn favoriete wijnen serveren.

Ondanks zijn talrijke internationale verplichtingen, speelt Jean Bourgain graag schaak met zijn veertienjarige zoon, Eric, een semiprofessioneel zwemkampioen. Sinds enige tijd kan de jongeling zijn vader schaakkundig verslaan, tot zo’n grote ergernis van de laatste, die daarom stiekem schaaklessen volgt bij zijn goede vriend Peter Sarnak, een Princeton wiskundige en officieel schaakgrootmeester. Sindsdien kan de wiskundige ‘Nobelprijs’-winnaar zijn zoon Eric nog een enkele keer de loef afsteken – maar dit ‘geheim’ delen enkel de lezers van dit artikel.

Op zijn beurt helpt Jean Bourgain dan weer anderen. Zijn vader bestudeerde als arts de vloeisnelheid van het bloed in het menselijk lichaam. Het ontstaan van een trombose was zijn onderwerp van wetenschappelijk onderzoek. De raad van de wiskundige zoon aan de geneeskundige vader was: ‘Bestudeer de vergelijkingen van Twersky’. En zo gebeurde het ook. In 1987 kreeg vader Bourgain de Prijs ‘Fondation Ipsen - Fondation de France’ en hij kan dus met de nodige autoriteit beweren dat mathematica daadwerkelijk van nut is voor de adepten van Hippocrates. Bijgevolg, omdat wiskunde blijkbaar ook hoofdpijnen kan wegnemen, gaan we even dieper in op het werk van Jean Bourgain.

Wiskunde is geen pretje

Als het leven en de carrière van Jean Bourgain een plezier zijn om te beschrijven, is zijn wiskundig werk andere kost. Bourgain zelf vindt het trouwens fout om de wetenschappelijke activiteit voor te stellen als een ‘feest’ of een ‘pretje’, en vindt wiskunde ‘harde arbeid’. Hij keurt het zelfs af om jongeren voor te houden dat de wiskundige resultaten volgen uit wat vrij en vrolijk spelen met formules, en wellicht heeft hij gelijk, want een groot aantal jongeren laat op latere leeftijd de interesse voor wetenschap varen. Bij campagnes om jongeren te interesseren voor de wiskundige sport moet daarom de bereidheid tot hard trainen duidelijk worden gesteld, vindt hij.

De keuze voor het soort harde arbeid dat hij zou verrichten, kwam bij Bourgain een beetje bij toeval. Zijn allereerste uiteenzetting, in zijn eerste licentie, bracht hem in contact met de Pool Aleksander Pelczynski, die aanwezig was tussen het publiek. Het onderwerp betrof de Banachruimten, genoemd naar de Poolse wiskundige Stefan Banach. In de jaren 1920 was dit een gebied van intense studie, zo sterk zelfs dat er sprake was van een ‘Poolse School’, maar na de Tweede Wereldoorlog bleken de wiskundige erfgenamen niet opgewassen tegen een aantal onopgeloste problemen. De ‘Franse revolutie’ van Laurent Schwartz en de statenloze Alexander Grothendieck, zijn ‘student’ en voor velen de grootste abstracte geest van de vorige eeuw, bracht hierin verandering. Nieuwe sensationele resultaten volgden, zoals dit van Per Enflo in 1973, en tussen al dit geweld was er ook Jean Bourgain.

In het laatste decennium groeide het belang van de theorie van de Banachruimten, onder andere door toepassingen in de computerwetenschappen zoals ‘data compression’, waarin wordt gepoogd gegevens op een efficiënte manier op te slaan. In de jaren 1980 kreeg Bourgain een erg vruchtbaar resultaat door aan tonen hoe dit verwezenlijkt kan worden in ‘gewone’ euclidische ruimten met verrassend kleine dimensies. Het gebruikelijke platte vlak van het blad papier ervaren we als een ruimte met dimensie twee, en de fysische ruimte rondom ons beelden we ons in met dimensie drie, maar wiskundigen gaan verder en gebruiken dimensies 4, 5, … tot het oneindige toe. Eenvoudig is de veralgemening tot meer dimensies echter niet, want de meetkunde in de driedimensionale ruimte kan erg misleidend zijn bij uitbreiding naar een hogere dimensie. Enerzijds treden vreemde pathologische fenomenen op, maar anderzijds worden soms onverwachte structuren zichtbaar. Bijvoorbeeld kon de Portugese wiskundige Luis Santalo een opmerkelijke ongelijkheid opstellen die bepaalde volumes vergeleek met die van een gewone sfeer of bol. Dit gebeurde al zestig jaar geleden, maar hoewel toen Kurt Mahler al het bestaan van een omgekeerde ongelijkheid vermoedde, was het pas in het midden van de jaren 1980 dat Vitali Milman en Bourgain de hypothese konden bewijzen. Ze heeft toepassingen in de getallentheorie (de oorspronkelijke motivatie van Mahler), maar verrassend genoeg ook in de theoretische informatica.

Verjongingskuur

Bourgain droeg ertoe bij om de vooroorlogse Banachruimtes een verjongingskuur te geven, en zo zou zowat elk gebied dat hij aanraakte, zijn invloed ondergaan. Dikwijls speelde slechts het toeval een rol om zijn interesse te bepalen, zoals ook Jesus Bastero en Luis Vega verhaalden in een artikel ter ere van de uitreiking van de Fieldsmedaille. Ze citeren een vertelling van Bernard Maurey over Jean Bourgain:

‘Ik ben een erg bekende sleutelmaker in mijn streek. Wanneer een buurman een probleem heeft met een slot dat zich niet laat openen, roepen ze mij en gewoonlijk is er geen deur die mij weerstaat.

Niettemin riepen ze me op een dag om een zeer moeilijke deur te openen. Hoewel ik een speciaal apparaat heb voor sloten in moeilijke situaties, was deze deur verschillend. Na verscheidene pogingen kon ik de sleutel in het slot krijgen, maar het draaide niet.

Achter me was een Belgische jongeling een beetje aan het toekijken en bij het zien van mijn vruchteloze inspanningen, zei hij:

- Laat me even, Bernard.

Ik stond mijn plaats aan hem af en met mijn instrumenten opende hij de deur in een ogenblik. Hoewel ik goed oplette en zijn manipulaties volledig zag, kon ik niet begrijpen wat hij deed. Daarom vroeg ik hem:

- Hoe heb je het gedaan, Jean?

en hij antwoordde mij:

- Er is niets moeilijks aan. Wat er is, is gewoon dat u hiervoor een beetje ‘oud’ bent, Bernard.

Daarna dook Bourgain vol dynamisme in de ergodiciteitstheorie. We proberen uit te leggen waar dit over gaat. Wel, een ‘maat’ is een manier om gewichten toe te kennen aan verschillende gebieden in de ruimte. Voorbeelden zijn het volume in de gewone driedimensionale Euclidische ruimte of de waarschijnlijkheid waarmee iets kan gebeuren in de ‘ruimte van gebeurtenissen’, en in dit geval is de grootste maat van een verzameling 1, namelijk de waarschijnlijkheid van de zekere gebeurtenis. Nu beschrijft een ‘dynamisch’ systeem de verandering van stukjes van de ruimte, zoals wanneer aan een punt herhaaldelijk een wijziging wordt opgelegd, en het resultaat is dan zijn traject of de baan van het punt. Bepaalde dynamische systemen behouden de maat, in die zin dat het beeld van een verzameling door een afbeelding steeds dezelfde maat heeft als in de originele ruimte en het kan dat sommige verzamelingen zelfs niet veranderen (‘invariant’ zijn) en samenvallen met hun beeld.

Zulke systemen worden ‘conservatief’ genoemd. Een belangrijk voorbeeld wordt gegeven door de vergelijkingen van Kepler, die in de hemelmechanica de beweging van de planeten, kometen of andere lichamen uit ons zonnestelsel beschrijven. Tot op vandaag worden de dynamische eigenschappen van deze beweging niet goed begrepen. Sinds het werk van de Franse wiskundige Henri Poincaré op het einde van de 19de eeuw, is bekend dat de vergelijkingen van Kepler niet exact kunnen worden opgelost, behalve dan natuurlijk in het geval dat een interactie tussen slechts twee lichamen wordt bestudeerd. Welnu, de ergodische theorie wil een alternatief bieden om toe te laten voorspellingen te doen, al zijn die dikwijls maar van kwalitatieve aard.

Het werk van Andrey Nikolaevich Kolmogorov, een van de belangrijkste wiskundigen van de 20ste eeuw, legde bijvoorbeeld uit waarom sommige hemelse bewegingen periodiek moeten zijn, en hij toonde hiermee de vrijmoedige veronderstelling aan die de Franse school van de 18de eeuw met Joseph-Louis Lagrange en Pierre-Simon Laplace had aangenomen. Aan de andere kant begrijpen we nu ook beter waarom een systeem stabiel is of niet, en hoe chaotisch gedrag ontstaat. Voor ons planetair systeem bijvoorbeeld, weten we tegenwoordig, door precieze numerieke berekeningen met krachtige computers van de vergelijkingen van Kepler, over uiterst lange perioden, dat de buitengordel met Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus heel stabiel is. De binnenste gordel, met behalve onze aarde ook Venus, Mars en Mercurius, is erg onstabiel. Meer in het bijzonder geldt dit voor de laatste binnenplaneet, die binnen ‘afzienbare tijd’ wel eens zou kunnen ‘ontsnappen’ uit het zonnestelsel.

De bron van deze labiele situatie zijn twee wisselwerkingen, één tussen de aarde en Mars, en één tussen Venus en Mercurius en Jupiter. Een groot deel van Bourgains werk gaat precies over het begrijpen van de dynamische systemen met zo’n ‘resonanties’. Een ander voorbeeld van een conservatief systeem, beschreven in een vorige paragraaf, wordt gevormd door de vergelijkingen van Schrödinger, bekend uit de kwantummechanica, en met actuele toepassingen, zoals bij lasers. Hier is een oneindig dimensionale ruimte nodig om de fenomenen te beschrijven, maar toch kon Bourgain in het midden van de jaren negentig aantonen dat de passende ‘invariante maat’, om de hoger gebruikte term te herhalen, reeds bekend was in de natuurkunde, onder de naam ‘maat van Gibbs’.

Bevolkingsaangroei

In de toekomst zullen de Schrödingeroperatoren en hun toepassingen het leven van Bourgain beheersen (en omgekeerd). Hij heeft net een prestigieus boek over dit onderwerp geschreven in de serie ‘Annals of Mathematics Studies’ van de Princeton University Press. De enige twee luidop voorleesbare zinnen vormen het gehele dankwoord, maar toch is het zo dat de beroemde theorieën van Schrödinger toepassingen hebben van de kleinste atomen tot verste reuzensterren.

Dit zal Bourgain evenwel niet beletten in andere domeinen belangwekkende resultaten te boeken, soms bij wijze van vermaak, als zijn blik erop valt, zoals eens gebeurde met zijn charmante resultaat over rekenkundige reeksen. Iedereen kent de wet van Malthus, die als eerste de dramatische gevolgen van een bevolkingsaangroei beschreef met de bewering dat een voedselvoorraad groeit volgens een rekenkundige rij, maar de bevolking aangroeit volgens een meetkundige rij. De getallen 3, 5, 7, … vormen een rekenkundige rij, maar 3, 6, 12, … een meetkundige. De eerste geeft trouwens een rij met lengte 3 van priemgetallen (9 is natuurlijk geen priemgetal want het is deelbaar door 3), en men kan zich afvragen of er langere rekenkundige rijen van priemgetallen bestaan. Meer algemeen is de vraag of er in willekeurig groepjes van getallen wel rekenkundig rijen bestaan (met al of niet priemgetallen), van een bepaalde lengte.

Deze vraag klinkt zo algemeen dat een zinnig antwoord ondenkbaar lijkt. Toch kon Jean Bourgain in 1990 aantonen dat sommen van getallen uit willekeurige verzamelingen C en D met getallen van 1, 2, 3 … tot ergens een getal N, steeds een rekenkundige rij moeten hebben van lengte e^{b 3√log N}, waarbij het getal b er enkel van afhangt hoe dicht de getallen in C en D bij elkaar liggen. De ‘log’ en e = 2,71828… verwijzen naar de natuurlijke logaritmen, en deze laatste symbolen staan als afzonderlijke knopjes op elke rekenmachine die zichzelf respecteert (log x = y wil zeggen e^y=x). Ian Levitt stelde dat ‘het resultaat belangwekkend is, en meer nog het bewijs ervan, maar Bourgains zes pagina’s van wiskundige precisie zijn ondoordringbaar voor mijn deductievermogen’ . Hij gaf daarom een ander bewijs, in 2005, op de dag dat Bourgain zelf de bevolking deed aangroeien, namelijk op 28 februari, zijn verjaardag.