Doornroosje en de drie doosjes

Doornroosje staat op het punt betoverd te worden door een boze fee. De prinses zal een lange tijd slapen, waarin de boze fee haar zal wakker maken voor één of voor twee korte periodes. Zodra Doornroosje slaapt, zal de boze fee een eerlijke munt opgooien: als het kop is, dan zal de boze fee haar één keer wekken; bij munt zal de boze fee haar twee keer wekken.

Na iedere keer dat Doornroosje wakker geweest is, dient de boze fee haar een toverdrank toe, waardoor ze zich niet zal herinneren dat ze wakker is geweest. Doornroosje wordt van al deze dingen op de hoogte gesteld voordat ze in slaap wordt gebracht.

Stel nu dat Doornroosje zojuist door de boze fee is gewekt. Doornroosje krijgt geen aanwijzingen waaruit ze zou kunnen afleiden of dit het eerste of het tweede ontwaken is. Welke kans moet zij nu toekennen aan de mogelijkheid dat de muntworp kop heeft opgeleverd?

Volgens sommigen is het antwoord 1/2. Zij redeneren als volgt: de boze fee gebruikt een eerlijke munt, die kans 1/2 heeft op kop. Bovendien weet Doornroosje op voorhand dat ze minstens één keer gewekt wordt tijdens het experiment, dus ze leert niets nieuws wanneer ze wakker wordt tijdens haar toverslaap. Daarom moet de kans 1/2 blijven.

Volgens anderen is het antwoord 1/3. Zij argumenteren als volgt: als Doornroosje de hele procedure meermaals na elkaar zou doorlopen en ze telkens als ze ontwaakt tijdens de betovering een weddenschap zou afsluiten dat het munt is, ze op den duur zou winnen, omdat ze vaker ontwaakt is na munt dan na kop.

Hoewel ik het eens ben met de conclusie dat het antwoord 1/3 is, vind ik de argumentatie via weddenschappen niet zo handig. Het is bijvoorbeeld onduidelijk met wie Doornroosje zo’n weddenschap zou kunnen afsluiten. Niet met de boze fee alvast, want zij kent het resultaat van de muntworp. Ook een andere waarnemer weet welke dag het is en dus of het de eerste of tweede keer is dat de prinses ontwaakt. Voor een eerlijke weddenschap moet de bookmaker dan al mee in slaap gebracht worden.

Het vraagstuk van de Schone Slaapster werd in 1990 bedacht door Arnold Zuboff, maar voor het eerst gepubliceerd in 2000 door een andere filosoof. Er was al veel inkt over gevloeid toen ik er voor het eerst van hoorde. Ik heb mijn eigen analyse in 2019 gepubliceerd in het vakblad Synthese.

In die analyse steunde ik op een oudere paradox, die al lang is opgelost: de doosjesparadox van Bertrand uit 1889. Stel je drie doosjes voor, met elk twee munten in. In het eerste doosje zitten twee zilveren munten, in het tweede doosje twee gouden munten en in het derde doosje één zilveren en één gouden munt.

Je kiest willekeurig een doosje en daaruit neem je willekeurig een munt. Dat blijkt een gouden munt te zijn. Wat is nu de kans dat de andere munt in dat doosje zilver is?

Eens je weet dat je een gouden munt hebt getrokken uit het doosje, kun je het doosje met twee zilveren munten uitsluiten. Er blijven dus twee mogelijke doosjes over, die aanvankelijk evenveel kans hadden om geselecteerd te worden. (Er hadden net zo goed enkel deze twee doosjes kunnen zijn, waartussen gekozen werd met een eerlijke muntworp.)

Misschien denk je nu dat het antwoord 1/2 is. Dan benut je echter niet alle informatie. De kans om een gouden munt te trekken was namelijk dubbel zo groot bij het doosje met twee gouden munten erin als bij het andere. De correcte berekening bij het doosjesprobleem levert als antwoord 1/3 op. Dat is volgens mij bij de vraag over Doornroosje ook zo.

Wat is het dan dat Doornroosje leert als ze even wakker wordt tijdens haar betovering? Ze leert dat ze niet slaapt! Tijdens het experiment is het helemaal geen evidentie dat ze wakker is. Gedurende het grootste deel van de betovering slaapt ze, en ze slaapt nog iets meer na kop. Zodra ze ontdekt dat ze wakker is, stijgt dus de kans dat het munt was en daalt de kans dat het kop was. Naar 1/3, om precies te zijn.