Het Erdősgetal

Over netwerken en Paul Erdős.

Iedereen kent wel iemand die heeft meegedaan aan Expeditie Robinson, Miss België of dan toch tenminste aan Popidool. Als dit niet voor u van toepassing is, dan wel waarschijnlijk voor een van uw vrienden. Onderzoekers naar sociale netwerken zijn van mening dat het gemiddelde aantal stappen "…is een vriend of familie van …" tussen twee willekeurige mensen op deze aardbol verrassend klein is. Dit was al waar voor er sprake was van internetnetwerken zoals LinkedIn, FaceBook, MySpace,…Het getal zes duikt dikwijls op als het maximale aantal stappen dat nodig is om twee mensen op de aarde met elkaar te verbinden (six degrees of separation).

Als korte denkoefening probeer ik tot bij Madonna te geraken: jarenlang, tijdens de zomervakanties op camping Cosmos, vormde ik samen met John den tireur een geducht petanqueduo, wiens zoon niet alleen een beurs maar ook een klasgenoot had versierd op de Newyorkse dansacademie, die, (u gelooft het nooit) tegenwoordig in de begeleidingsgroep van Madonna danst. Een pad van lengte vier! Het kost veel minder moeite om in twee stappen van Bush tot Bin Laden te geraken. 

Daar waar gynaecologen op een congres hun golfhandicap plegen te vergelijken, pakt men in sommige wiskundige middens graag uit met een klein Erdősgetal. 

Paul Erdős (1913-1996) was ongetwijfeld een van de meest kleurrijke wiskundigen van de vorige eeuw. Als gevolg van het feit dat hij met heel veel wiskundigen heeft samengewerkt, is de Erdősgetalfolklore ontstaan:

  • Erdős zelf wordt als centrum van het netwerk genomen;
  • alle 509 wiskundigen die met Erdős een artikel geschreven hebben krijgen getal 1;
  • wie niet met Erdős publiceerde maar wel met iemand die Erdösgetal 1 heeft, krijgt getal 2; 
  • enzovoorts.

Wie niet (langs vele omwegen) met Erdős verbonden is, heeft Erdősgetal oneindig, maar dan moet je al echt een asociale wiskundige zijn.
Zoals de euromuntjes heeft de Erdősnummering zich snel verspreid, ook buiten de grenzen van de wiskunde. Mijn neef is een fysicus, heeft slechts één artikel gepubliceerd, maar hij heeft opgezocht dat zijn Erdősgetal ten hoogste 9 bedraagt. Nobelprijswinnaars blijken ook een klein Erdősgetal te hebben. Het gemiddelde van de eindige Erdősgetallen ligt sowieso slechts rond 5. 

Lezers die geplaagd worden door ijdelheid kunnen hun Erdősgetal opzoeken via het Erdősgetalproject.

Enkele Erdőstrivia:

  • Paul Erdös heeft momenteel meer dan 1500 publicaties op zijn naam (waarvan meer dan honderd na zijn dood).
  • Zijn vermoedens zijn bijna beroemder dan zijn resultaten. Ze staan garant voor generatielang puzzelplezier. 
  • Ook vele uitspraken van Erdös zijn legendarisch, al is het natuurlijk nooit zeker of hij al die dingen echt gezegd heeft. Zo definieerde hij een wiskundige als een “mechanisme dat koffie in stellingen omzet”.
  • Ook de filmwereld heeft een ‘netwerkgetal’ met als centrum acteur Kevin Bacon (‘Footloose’, ‘Apollo 13’, ‘Wild things’,…). Het is pas echt cool om een eindig Erdös-Bacongetal te hebben (de som van je Erdösgetal en je Bacongetal). Dit wil immers zeggen dat je wetenschappelijke artikels schrijft en in je vrije tijd in filmen meespeelt (of omgekeerd). Daniel Kleitman staat op Wikipedia vermeld met Erdös-Bacongetal 3 (omdat hij met Erdös een artikel schreef en toevallig voor de camera liep in ‘Good will hunting’ waarin Minnie Driver met Bacongetal 1 optreedt). Enkel Kevin Bacon zelf kan dit nog verbeteren. Inderdaad, theoretisch kan Bacon nog een EB2 verkrijgen. Stephen Hawking heeft EB7 (Erdös 3, Bacon 4).

Soms vraag ik me af, wat zou mijn Evangeline Lillygetal zijn?

Kevin Bacon

De originele en elegante denker Paul Erdős heeft een honderdvoud aan problemen opgelost in getaltheorie of combinatoriek, maar hij heeft nooit van een vaste academische positie kunnen genieten. Hij was een wiskundige zwerver die in verscheidene landen collega's te vriend had bij wie hij ten alle tijden mocht blijven logeren. Als Jood moest hij in de jaren 30 Hongarije ontvluchten, als Oost-Europeaan werd hem in de jaren 50 de toegang tot de Verenigde Staten ontzegd tijdens de McCarthy-hysterie. 

Met de gebeurlijke inkomsten van gastcolleges of prijzen (o.a. Wolf Prize, $50000, 1983) hielp hij onbemiddelde studenten of loofde hij premies uit voor sommige van de vele vraagstukken die hij de wereld heeft nagelaten. Zelf had hij niet veel geld nodig, want genoeg wiskundigen hadden hun linkerarm veil om Erdős enige tijd onderdak te mogen verlenen. Of beter nog, om met hem een artikel over priemgetallen te mogen schrijven. Al moet gezegd dat deze gast zichzelf vaak opdrong. Onaangekondigd stond hij dan voor de deur, klein en spichtig, met blinkende oogjes vol ideeën en een plastieken zak met enkele kleren. 
Het huwelijk van de verblufte gastheer werd de daarop volgende dagen ernstig op de proef gesteld. Erdős werkte namelijk 19 uur per dag en viel regelmatig de slaapkamer van zijn collega binnen om een stelling te bespreken. Wereldlijke dingen zoals borden afruimen of de was doen, mocht je van hem niet verwachten. Het breekpunt van het onthaalgezin kwam meestal na twee weken. Rond die tijd vroeg Erdős wie zijn teennagels wilde knippen, en viel de gastheer in slaap achter zijn stuur. Dus vertrok hij weer, op zoek naar een nieuw adres ("another roof, another proof").

  • Meer over Paul Erdős vind je in deze biografie of hier of, als je wat meer tijd hebt, op de site van kennislink.nl.
  • Erdős liet vraagstukken achter zoals Kleinduimpje broodkruimels. Afhankelijk van de moeilijkheidsgraad, zette hij een bepaalde geldprijs op de oplossing. Zijn erfenis wordt tot vandaag beheerd door Ron Graham, zodat de prijs nog altijd uitbetaald wordt als je een probleem uit de lijst van Erdős oplost.
  • Voorbeelden van pareltjes van bewijzen die, zoals Erdős zou zeggen, uit het boek van God komen, kan je lezen in: Martin Aigner and Günther M. Ziegler, Proofs From The Book, (Springer, second edition, 2001).

Meer lezen en kijken:

  • Paul Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers (Hyperion, 1998 of  de Nederlandse vertaling door Bert Bakker, 1999).
  • Bruce Schlechter, My brain is open: the mathematical journeys of Paul Erdős (Roaring Brook Press Erdős (Simon & Schuster, 1998)
  • George Csicsery, N is a number - A portrait of Paul Erdős (The story of a wandering mathematician obsessed with unsolved problems) (documentaire)
  • Ronald Graham and Jaroslav Nesetril, The Mathematics of Paul Erdös (Springer, 1997).
  • Martin Aigner and Günther M. Ziegler, Proofs From The Book (Springer, fifth edition, 2014).  
  • Deborah Heiligman, The Boy Who Loved Math: The Improbable Life of Paul Erdős (Roaring Brook Press, 2013)