Soms heeft een schilder een wiskundige nodig en soms heeft een wiskundige, zoals ik, een kunstenaar nodig om te zien hoe wonderlijk wiskunde voor niet-wiskundigen werkelijk is.
Onlangs mocht ik spreken in de Residencia de Estudiantes in Madrid, het onder wetenschappers en kunstenaars bekende Spaanse avant-garde-instituut. Het ontstond in 1910, toen Spanje met een diepe identiteitscrisis worstelde. Het land had in 1898 zijn laatste kolonies verloren en een generatie intellectuelen vroeg zich af waarom Spanje wetenschappelijk, cultureel en economisch achteropliep op de rest van Europa. Ze vonden dat universiteiten meer moesten doen dan kennis overdragen. Het academisch traject moest vormen, verbinden én wrijving veroorzaken. De Residencia werd het levende experiment van die visie. Officieel was de plek een studentenverblijf, maar in werkelijkheid was ze een intellectueel ecosysteem. Studenten, kunstenaars, schrijvers en wetenschappers leefden er samen. Er waren lezingen, concerten, diners, poëzieavonden en wetenschappelijke debatten. Albert Einstein en Marie Curie spraken er. Federico García Lorca en Salvador Dalí verbleven er als jonge kunstenaars. De Residencia doet nu nog steeds waarvoor ze ooit werd opgericht: mensen samenbrengen die anders wellicht nooit met elkaar in contact waren gekomen.
Enkele kilometers verderop, in het Reina Sofía, zag ik een van de tastbare sporen van die kruisbestuiving tussen kunst en wetenschap. Kunstenaars uit die tijd werden sterk beïnvloed door de toen baanbrekende resultaten uit de wiskunde, de meetkunde in het bijzonder.
Eeuwenlang had Euclides de wetenschap van de meetkunde gedomineerd. Zijn werk onderrichten we nog steeds op school, waaronder rechten, driehoeken, cirkels en hun eigenschappen. Hij bouwde zijn meetkunde op axioma’s ofwel vertrekpunten die we vaststellen, maar niet kunnen bewijzen. Vooral zijn vijfde axioma, bekend als het parallellenpostulaat, bleef eeuwen intrigeren. In de moderne formulering van de Schotse wiskundige John Playfair klinkt het als ‘door een punt buiten een rechte loopt precies één rechte die evenwijdig is aan die rechte’. Het leek zo simpel dat men dacht dat het te bewijzen valt, maar dat Euclides er gewoonweg niet in geslaagd was. In de achttiende eeuw probeerde de Italiaan Giovanni Girolamo Saccheri het parallellenpostulaat uit de overige axioma’s af te leiden. Hij nam daarom aan dat het niet waar was en hoopte zo op een contradictie te stoten. Maar die contradictie kwam er niet.
Neem er eens een strandbal bij. Op de ‘evenaar’ vertrekken schijnbaar evenwijdige rechten, maar ze lopen naar elkaar toe en snijden op de polen. Het vijfde postulaat van Euclides lijkt dus niet te kloppen op een bal en dus ook niet voor grote metingen op onze aarde. De euclidische meetkunde beschrijft een vlakke wereld, maar werkt voor ons omdat onze wereldbol erg groot is. Daarom is elke omgeving rondom ons zo goed als vlak.
Het kubisme toont prachtig aan dat vernieuwende ideeën zelden ontstaan binnen nette disciplinaire grenzen
De Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss zag niet veel later in dat de oppervlakken waarop men meet ertoe doen. Zo ontstaat er ook meetkunde waarin door één punt geen enkele (zoals op de bal) of net meerdere rechten lopen die een gegeven rechte niet snijden. De Rus Nikolaj Lobatsjevski en de Hongaar János Bolyai publiceerden in de negentiende eeuw onafhankelijk van elkaar zo een nieuwe gekromde wereld: de hyperbolische meetkunde. De Duitser Bernhard Riemann ging nog een stap verder en bestudeerde ruimten met veranderende kromming.
Deze ontwikkeling was een echte omwenteling. Meetkunde hangt af van het object en metingen kunnen slechts een benadering zijn van de werkelijkheid. De Franse wiskundige en wetenschapsfilosoof Henri Poincaré – boegbeeld van de VUB – schreef veel over deze aard van meetkundige systemen. Omdat zijn ideeën werden gelezen door intellectuelen en kunstenaars rond 1900 kwam zo de niet-euclidische meetkunde in de artistieke avant-garde terecht.
Schilders zoals Pablo Picasso, Georges Braque en ook graficus Maurits Cornelis Escher probeerden daardoor af te stappen van het klassieke perspectief van de renaissance. Ze portretteerden objecten vanuit meerdere gezichtspunten tegelijkertijd en zo werd het ‘kubisme’ geboren. Een schilderij was geen venster meer op één ordelijke driedimensionale wereld, maar een plek waar verschillende ruimtelijke ervaringen in één beeld samenkomen.
Daarbij speelde ook de zogenoemde ‘vierde dimensie’ een rol. Niet de tijdsdimensie van Einstein, zoals later vaak werd gedacht, maar een extra ruimtelijke dimensie. Wiskundigen als Charles Howard Hinton en Esprit Pascal Jouffret probeerden vierdimensionale lichamen voorstelbaar te maken via projecties. Zoals een kubus als tekening op papier kan verschijnen, zo kan een vierdimensionaal lichaam als een complexe projectie in onze driedimensionale verbeelding verschijnen. Hun diagrammen, vol facetten, snijdende lijnen en verschuivende vlakken, lijken opvallend verwant aan kubistische schilderijen. De kubisten werkten echter niet zuiver wiskundig. Ze gebruikten de doorbraken in de wiskunde om hun verbeelding de vrije loop te laten en nieuwe voorstellingen van de ruimte te creëren.
Het kubisme toont prachtig aan dat vernieuwende ideeën zelden ontstaan binnen nette disciplinaire grenzen. Soms heeft een schilder een wiskundige nodig en soms heeft een wiskundige, zoals ik, een kunstenaar nodig om te zien hoe wonderlijk wiskunde voor niet-wiskundigen werkelijk is.
