Afstand is geen absoluut concept, maar een geschikte keuze van meten tussen objecten, afgestemd op de vragen die we willen beantwoorden.
Voor de Oude Grieken was afstand de lengte van het lijnstuk tussen twee punten in het vlak of dus de lengte van de kortste route tussen beide. Eeuwenlang werkte die definitie en de daarbijhorende Euclidische meetkunde prima. Tot de grote ontdekkingsreizen. Op een bol loopt de kortste route tussen twee punten namelijk niet in een rechte lijn, maar langs een boog van een grote cirkel en dat bracht zeevaarders in de problemen.
Zij tekenden namelijk hun koers uit op platte kaarten, maar kwamen in de praktijk vaak elders uit dan gehoopt. Om een rechte koerslijn te volgen, moesten ze in feite op zee voortdurend subtiel van richting veranderen door de kromming van de aarde. Er werd daarom rond 1560 aangeklopt bij de Vlaamse globemaker Gerardus Mercator. Hij bestudeerde de Euclidische meetkunde om de kaart beter aan het navigeren op de wereld aan te passen, maar botste steeds weer op problemen. Door de kaart als een cilinder rond de wereldbol te rollen, bekwam hij een kaartprojectie waarbij rechte lijnen tussen punten overeenkomen met een koers waarbij je op zee de richting niet hoeft bij te sturen. De prijs die hij betaalde: afstanden werden vervormd en land dichtbij de polen werd enorm uitgerekt.
Had Mercator het beter kunnen doen? Nee hoor, want pas in de negentiende eeuw bewees Carl Friedrich Gauss dat geen enkele kaart de bol zonder fouten kan weergeven, net omwille van de kromming. Elke projectie moet kiezen welk meetkundig aspect wordt bewaard: hoeken, afstanden of oppervlaktes. De overige twee worden dan onherroepelijk vervormd.
Het begrip afstand kan je wiskundig vormgeven met het concept van metriek: een functie d die aan elk puntenpaar (A,B) een positief reëel getal toekent en drie eenvoudige regels volgt.
1. De afstand tussen A en B is nul, d(A,B) = 0, enkel en alleen wanneer A = B.
2. De afstand van A naar B is dezelfde als die van B naar A: d(A,B) = d(B,A).
3. De afstand voldoet aan de driehoeksongelijkheid: wanneer je een omweg maakt via een derde punt C, is de totale afstand groter of gelijk aan de directe route tussen A en B: d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).
Een metriek veralgemeent het meten met een fysieke lat door abstracte spelregels te hanteren die de kern van het meten beschrijven. Door het kiezen van geschikte functies d, ontstaan nieuwe ‘werelden’ waarin afstand een andere betekenis krijgt.
De bekendste metriek blijft de Euclidische afstand. De metriek wordt hierbij de formule voor het meten met een lat van de afstand tussen twee punten (x₁,y₁) en (x₂,y₂) in het platte vlak die je kan bepalen met de Stelling van Pythagoras:). Dit is de metriek van landmeetkundigen, architecten en iedereen die een rolletje meetlint gebruikt.
Maar in een stad met appartementsblokken in een strak stratenraster leeft een andere meetkunde. De Manhattan-metriek meet alleen horizontale en verticale stappen, omdat je nu eenmaal niet diagonaal door gebouwen kunt. Gaan van coördinaten (0,0) naar (6,6) gebeurt dan niet in één schuine lijn (groene lijn met Euclidische lengte , maar door het lopen langs |6−0| + |6-0| = 12 straatsegmenten, die daarenboven niet uniek bepaald zijn (bijvoorbeeld rode, blauwe of gele lijn). Zo krijgen we een heel andere ervaring van afstand in de ruimte.
In de digitale wereld krijgt afstand een nog abstractere betekenis. In de datawetenschap vormen metrieken de kern van clusteringalgoritmen die gelijkaardige datapunten groeperen van medische metingen in onderzoek tot foto’s op je smartphone. Zo kan je de afstand tussen twee afbeeldingen berekenen om te bepalen hoe gelijkaardig ze eruitzien of tussen twee teksten om hun inhoudelijke verwantschap te meten. Een populaire metriek in het laatste geval is de cosinusafstand, die gebruikt wordt in het taalmodel ChatGPT en die kijkt naar de hoek tussen twee vectoren die de teksten representeren. Twee teksten over hetzelfde onderwerp staan dicht bij elkaar, zelfs als de ene veel langer is dan de andere. Ook streamingdiensten gebruiken metrieken: het compressie-algoritme meet continu de afstand tussen de gecomprimeerde video en het origineel om de beste kwaliteit te garanderen binnen de beschikbare bandbreedte.
Afstand is dus geen absoluut concept, maar een geschikte keuze van meten tussen objecten, afgestemd op de vragen die we willen beantwoorden.
