De Duitse wiskundige leverde het bewijs voor een vermoeden dat zestig jaar lang onopgelost was gebleven. 'Zijn werk heeft het vakgebied ingrijpend veranderd.'
De Abelprijs gaat dit jaar naar de Duitse wiskundige Gerd Faltings. De prijs bekroont jaarlijks het levenswerk van een wiskundige en wordt uitgereikt door de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren. Faltings is vooral bekend om het bewijs voor het invloedrijke vermoeden van Mordell, dat hij in 1983 leverde. Dat vermoeden staat sindsdien ook wel bekend als de 'stelling van Faltings'.
De prijs voegt zich bij een hele reeks onderscheidingen die Faltings, 71 jaar oud, tijdens zijn lange carrière heeft mogen ontvangen. Op die lijst staat onder meer de Fields-medaille, de meest begeerde prijs in de wiskunde, die Faltings op 32-jarige leeftijd won. 'Aan het begin van mijn carrière kreeg ik de Fields-medaille. En aan het einde krijg ik de Abelprijs', zegt Faltings. 'Het is een mooie dualiteit.'
De stelling van Faltings gaat over curves. Vaak kunnen die worden beschreven door eenvoudige vergelijkingen met twee variabelen die met elkaar worden vermenigvuldigd en opgeteld. Als je de oplossingen van zo’n vergelijking in een coördinatenstelsel uitzet, vormen ze een rechte lijn, een ellips of een complexere, kronkelige kromme.
Een verborgen orde
Sinds het begin van de wiskunde zijn mensen op zoek naar een zeldzame deelverzameling van deze vergelijkingen: ‘rationele’ punten op de curve, waar de coördinaten gehele getallen of breuken zijn. Deze speciale punten hebben onderling rijke en ingewikkelde relaties die een verborgen orde verraden, die wiskundigen trachten te ontrafelen.
Maar er bestaan oneindig veel soorten krommen, en het leek onmogelijk om al hun rationele punten vast te stellen – tot de stelling van Faltings. Hij bewees dat als de vergelijking van een curve een variabele bevat die tot een macht hoger dan 3 wordt verheven, deze dan een eindig aantal van deze punten moet hebben. Alleen rechte lijnen, kwadratische vergelijkingen (zoals cirkels) en kubische vergelijkingen kunnen een oneindig aantal hebben.
Het bewijs wordt beschouwd als een hoeksteen van de rekenkundige geometrie, het vakgebied dat zich bezighoudt met krommen en vormen die door dit soort vergelijkingen worden weergegeven.
'Het is van fundamenteel belang', zegt Noam Elkies, wiskundige aan de universiteit van Harvard, over het bewijs van Faltings. 'Het vermoeden van Mordell is nu een stelling geworden. Dat heeft een grote invloed gehad op veel onderzoek in aanverwante vakgebieden.'
Wiskundigen zijn nog steeds bezig met het uitwerken van de gevolgtrekkingen van de stelling, die oorspronkelijk in 1922 door Louis Mordell werd verondersteld. Nog maar een paar weken geleden vonden wiskundigen een concrete bovengrens voor het aantal rationele punten dat curves kunnen hebben.
De stelling die zijn naam draagt, is slechts één van de vele wiskundige prestaties van Faltings. Een andere belangrijke bijdrage is de uitgebreide veralgemening van de stelling van krommen naar multidimensionale vormen, die hij in 1991 bewees. Ook deed hij enkele belangrijke bijdragen aan een belangrijk onderzoeksgebied dat bekendstaat als de ‘p-adische Hodge-theorie’, dat methodes aanbiedt om dergelijke patronen en de vergelijkingen die ze vormen te bestuderen.
Meters sneeuw
De vijfkoppige commissie kwam eind januari bijeen om de beslissing te nemen in het Institute for Advanced Study in Princeton, net toen een winterstorm het noordoosten bedekte met meters sneeuw. 'We hadden niets anders te doen dan gewoon gaan zitten en over wiskunde te discussiëren', zei Helge Holden, de voorzitter van de commissie, tijdens het Abel Symposium, een evenement dat de week daarop werd gehouden. 'Het hotel raakte door zijn voorraden heen, dus het brood werd steeds droger.'
De keuze is nooit gemakkelijk, zegt Holden, wiens vierjarige termijn als voorzitter dit jaar afloopt. Maar de keuze valt moeilijk te betwisten. 'Gerd Faltings is een vooraanstaande figuur in de rekenkundige meetkunde', zegt Holden. 'Zijn ideeën en resultaten hebben het vakgebied ingrijpend veranderd.'
Het vakgebied van de wiskunde is op vele manieren veranderd sinds Faltings zijn belangrijke bijdragen leverde. Hij benijdt de wiskundigen van vandaag niet, die zich haasten om de meest uitdagende open problemen aan te pakken. 'Het lijkt erop dat veel meer mensen zich er tegenwoordig mee bezig houden', zegt hij. 'Ik ben eigenlijk wel blij dat ik niet met hen hoef te concurreren.'
Wat betreft zijn enthousiasme over deze kroon op zijn werk, laat Faltings niet veel merken, zelfs niet naar de stoïcijnse maatstaven van Duitse wiskundigen. 'Ik ben oud en er is veel gebeurd in mijn leven, dus ik spring niet op en neer van vreugde', zegt hij. 'Maar het is wel heel mooi.'
