De oudste vormen van tellen dateren van meer dan 50.000 jaar geleden en gebeurden met de vingers. Al snel bleken die onvoldoende en creëerden we stapje voor stapje complexere telsystemen.
Wanneer een kind leert tellen met ‘één, twee, drie, vier, …’, maakt het kennis met de meest fundamentele getallen uit de wiskunde: de natuurlijke getallen. Wiskundigen noteren deze verzameling als ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}, een oneindige rij die begint bij nul. Dit zijn de getallen waarmee we objecten tellen. De oudste vormen van tellen dateren van meer dan 50.000 jaar geleden en gebeurden met de vingers. Al snel bleken die onvoldoende, en werden stokken, stenen of inkervingen gebruikt om aantallen dieren of leden van een stam bij te houden.
Op deze verzameling werden vervolgens bewerkingen gedefinieerd, ofwel operaties die van twee getallen vertrekken en er een derde aan toekennen. Zo ontstond de optelling op ℕ door vanuit het eerste getal verder te tellen met een aantal stappen gelijk aan het tweede. Om 5 + 3 te berekenen, beginnen we bij vijf en tellen we drie stappen verder: zes, zeven, acht. Deze bewerking laat toe om aantallen uit verschillende groepen samen te nemen zonder alles opnieuw te moeten tellen.
De optelling heeft enkele fundamentele eigenschappen. Ze is associatief: (a + b) + c = a + (b + c) voor willekeurige a, b, c in ℕ. Het maakt dus niet uit hoe we de bewerking groeperen. Verder is de optelling commutatief: a + b = b + a. Tenslotte is 0 het neutrale element: a + 0 = a.
Zo werd ook de vermenigvuldiging ingevoerd als herhaalde optelling: b x a = a + a + … + a (b keer). Ook hier gelden de associativiteit en commutativiteit, en is 1 het neutrale element. Deze eigenschappen lijken misschien technisch, maar ze vormen de basis van wat we algebra noemen.
Al snel botsten de natuurlijke getallen op hun grenzen. Wie wil weten hoeveel hij tekortkomt, wil niet verder tellen, maar terug. De vraag ‘Wat is 5 − 8?’ heeft echter geen antwoord binnen ℕ. Om zulke bewerkingen mogelijk te maken, werd het getallensysteem uitgebreid tot de gehele getallen: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. We willen hier natuurlijk een optelling en vermenigvuldiging die voortbouwen op die van ℕ.
Formeel kan men ℤ construeren met geordende paren (a, b) van natuurlijke getallen, waarbij (a, b) en (c, d) gelijk zijn als a + d = b + c. Het paar (3, 0) stelt dan +3 voor, en (0, 3) het getal −3. De optelling wordt gedefinieerd als (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), en de vermenigvuldiging als (a, b) x (c, d) = (a x c + b x d, a x d + b x c). Op die manier behouden we alle rekenwetten en krijgt elk getal een tegengestelde zodat hun som nul is.
Van tellen op onze vingers zijn we via tekortkomingen geëvolueerd naar steeds rijkere getalsystemen
Maar ook de gehele getallen volstaan niet. Wie willekeurige getallen gelijk wil verdelen zal vaak moeten gaan tot het verknippen van gehelen. Om vragen als ‘Wat is 3 gedeeld door 4?’ te beantwoorden, dienen we ℤ uit te breiden tot de rationale getallen ℚ. Die kunnen we voorstellen als paren (p, q) van gehele getallen met q ≠ 0, waarbij (p, q) gelijk is aan (r, s) als p x s = q x r. De bijhorende bewerkingen komen overeen met het optellen en vermenigvuldigen van breuken zoals we leren op de lagere school.
Hoewel ℚ aftelbaar is – men kan de rationale getallen bijvoorbeeld in een rooster plaatsen en ze zigzaggend nummeren – gedragen ze zich heel anders dan ℕ of ℤ op de getallenas. De rationale getallen zijn dicht: tussen twee verschillende rationale getallen liggen er altijd oneindig veel andere.
Toch bleek ook ℚ onvoldoende. Al in de vijfde eeuw voor Christus ontdekten de Grieken dat de diagonaal van een vierkant met zijde 1 een lengte heeft die niet als breuk kon worden geschreven. Door zulke ‘gaten’ op de getallenas op te vullen, breiden we ℚ uit met de irrationale getallen, zoals √2 en π, en verkrijgen we de reële getallen ℝ waarmee we elke lengte kunnen beschrijven. Elk punt op de getallenas komt dan overeen met een reëel getal. Rationale getallen hebben een eindige of repeterende decimale ontwikkeling, irrationale getallen niet.
Maar zelfs daarmee was het verhaal niet af. In de zestiende eeuw bleek dat sommige vergelijkingen geen oplossing hebben binnen ℝ. Pas in de negentiende eeuw werd dit opgelost door de complexe getallen te introduceren, met als kernidee het toevoegen van √−1 aan ℝ.
Zo zijn we van tellen op onze vingers via tekortkomingen geëvolueerd naar steeds rijkere getalsystemen. Elke uitbreiding was een antwoord op een concrete beperking. Dat maakt de geschiedenis van de getallen tot een elegante illustratie van hoe wiskunde groeit: stap voor stap, gedreven door problemen die om een oplossing vragen.
