Bron van quantumkansen

Honderd zomers geleden deden kansen hun intrede in de quantummechanica. Dit gebeurde zonder veel fanfare: in een kort artikel van de theoretische fysicus Max Born uit Göttingen. In Zürich had Erwin Schrödinger net de vergelijking opgesteld die nog steeds zijn naam draagt. Deze beschrijft de golffunctie van een deeltje. Schrödinger paste zijn vergelijking toe op het elektron in een waterstofatoom en kon hiermee de spectraallijnen van het waterstofatoom berekenen, waar eerder ook Niels Bohr een model voor had gemaakt.

Maar wat is een golffunctie eigenlijk? Deze functie kent aan elk punt in de ruimte een complex getal toe, met een waarde die kan veranderen in de tijd. Wat dat getal voorstelt was minder duidelijk. Schrödinger speculeerde dat het kwadraat van de amplitude van de golffunctie de ladingsdichtheid zou kunnen zijn, maar dat bleek niet te kloppen.

In Göttingen ging ook Max Born aan de slag met de schrödingervergelijking. Hij paste deze toe op een verstrooiingsprobleem: hoe buigen bijvoorbeeld elektronen af aan een atoom? Op 25 juni 1926, slechts vier dagen nadat Schrödinger zijn vergelijking had ingestuurd, was Born klaar met zijn oplossing.

Het is in dit artikel van slechts drie pagina’s dat Born voor het eerst een statistisch element toevoegde aan de quantummechanica. En dat ging niet van de eerste keer goed! In de hoofdtekst schreef Born namelijk dat de amplitude van de golffunctie de waarschijnlijkheid bepaalt. Pas in de drukproef voegde hij een voetnoot toe waarin staat dat de waarschijnlijkheid recht evenredig is met het kwadraat van die amplitude. En zo zeggen we het honderd jaar later nog steeds.

John von Neumann publiceerde in 1932 een boek waarin hij de postulaten van de quantumtheorie voorstelde. In het laatste hoofdstuk behandelde Von Neumann metingen aan een quantumsysteem. Hierbij maakte hij een onderscheid tussen twee soorten processen. Als het systeem niet wordt gemeten, evolueert de toestand volgens een causaal en reversibel proces dat beschreven wordt door de golfvergelijking van Schrödinger.

Tijdens een meting van een systeem treedt er echter een onomkeerbaar proces op, waarbij de gewone causaliteit doorbroken wordt. Hierbij evolueert de quantumtoestand naar een eigen­toestand van de gemeten observabele. Dit wordt collapse of instorting van de golffunctie genoemd. Welke eigentoestand dit precies zal zijn, is niet exact te voorspellen, maar de waarschijnlijkheid waarmee dit gebeurt kan berekend worden, precies zoals het in die voetnoot van Born uit 1926 stond. Hiermee werd de regel van Born verankerd in het formalisme dat nog in elk inleidend vak over quantummechanica centraal staat.

Oudere theorieën uit de fysica maakten geen onderscheid tussen de evolutie van een systeem als er wel of geen meting gebeurt. Newtons algemene zwaartekrachtswet bijvoorbeeld geldt ongeacht of je op een weegschaal gaat staan. In die zin is het collapse-postulaat in de quantumtheorie dus een raar beestje. Er zijn alternatieve theorieën van de quantumfysica waarbij deze instorting niet optreedt, zoals de veelwereldentheorie, of waarbij de instorting een spontaan proces is dat voortdurend optreedt en niet alleen tijdens een meting. Al deze theorieën moeten echter op een of andere manier verklaren waarom de statistische verdeling van meetresultaten de Born-regel volgt.

Samen met experimenteel fysicus Walther Bothe kreeg Max Born in 1954 de Nobelprijs Natuurkunde voor zijn bijdragen aan de fundamenten van de quantumfysica, met name zijn statistische interpretatie van de golffunctie. Naar aanleiding hiervan blikte Born in 1955 in Science terug op zijn ontdekking. Hij beweerde dat hij geïnspireerd was door het werk van Albert Einstein, die eerder al een probabilistische regel had voorgesteld voor het foto-elektrische effect. Einstein had namelijk het kwadraat van de amplitude van een optische golf geïnterpreteerd als de kansdichtheid voor de aanwezigheid van een foton. De overgang van een optische golf naar een golffunctie lijkt zo een kleine stap.

Heeft Born in 1926 echt via deze analogie geredeneerd? Dat lijkt onwaarschijnlijk. Zoals ook wetenschapshistoricus Abraham Pais heeft opgemerkt, zou het dan toch vreemd zijn dat Born in eerste instantie het kwadraat vergat te vermelden.

Zou de regel ook zonder Born ingevoerd zijn? Waarschijnlijk wel. De statistische interpretatie paste zo goed in de kraam van Bohr en zijn collega’s in Kopenhagen dat het leek of ze hem zelf hadden bedacht. Werner Heisenberg bijvoorbeeld gebruikte het idee eind 1926 zonder naar Born te verwijzen. Uit interviews met natuurkundigen die in die tijd studeerden blijkt dat ze niet wisten dat de regel van Born kwam. Gelukkig vermeldde Von Neumann hem wel als bron.