Zeg nooit zomaar 'priemgetal' tegen het getal 17

Voor Italianen is 17 een ongeluksgetal (mogelijke reden hiervoor is dat 17 in Romeinse cijfers XVII is, een anagram van VIXI, Latijn voor 'ik heb geleefd', anders gezegd: 'ik ben dood'). Een gevolg hiervan is overigens dat er geen stoelenrij 17 is in een vliegtuig van Air Italia, er geen 17-de verdieping is in Italiaanse flatgebouwen, en dat de Renault R17 in Italië werd herdoopt tot R117. 
Italianen lijden dus aan heptadecafobie. In Zweden is '17' dan weer een vloek: sjutton (också)!

Maar heel wat wiskundigen houden van 17 omwille van de anekdotische overvloed. Het is een priemgetal, maar niet zomaar een: 17 is een Fermat-priemgetal, een Proth-priemgetal, de jongste van een priemtweeling en een dubbelsexy priemgetal. Bovendien is het een Genocchi-getal, een Perrin-getal, de som van de eerste 4 priemgetallen ($17 = 2+3+5+7$), een som van twee kwadraten ($17 = 4^2+1^2$), een verschil van twee kwadraten ($17 = 9^2-8^2$), de hypotenusa van een Pythagorasdrietal ($17^2 = 8^2+15^2$), het zit geklemd tussen tussen de (omtrek=oppervlakte)-rechthoeken 16 en 18, en zo kunnen we nog een tijdje doorgaan. Laten we enkele troeven van het getal 17 belichten.

• Het getal 17 wordt ook wel het Feller-getal genoemd, naar de Princeton-professor William Feller. Indien deze in zijn lessen iets moest bewijzen voor een willekeurig natuurlijk getal, dan zei hij steevast: ``We zullen dit nagaan voor een willekeurig getal, neem bijvoorbeeld 17.''  Hij vertrok hierbij van het principe dat als het waar is voor 17, dat het dan waar is voor elke getal.
• Een behangpatroon is de basis van een regelmatige vlakverdeling die zich in twee richtingen herhaalt. In 1891 wist de Russische kristallograaf Evgraf Fedorov te bewijzen dat er in essentie maar 17 dergelijke behangpatronen mogelijk zijn, als we ze onderverdelen op basis van hun symmetrieën. De aandachtige bezoeker van het Alhambra in Granada ontdekt de volledige lijst van 17 patronen.
• De oude Grieken wisten hoe eenvoudige regelmatige veelhoeken te construeren met behulp van passer en liniaal. Daarna, 2000 jaar langs was er weinig of geen evolutie geweest in het onderzoek naar de construeerbaarheid van regelmatige veelhoeken. En toen kwam Carl Friedrich Gauss. Hij bewees op 19-jarige leeftijd dat de regelmatige 17-hoek inderdaad met passer en liniaal te construeren is. De constructie zelf gaf hij er niet bij, enkel het bewijs dat het kon. Voor de liefhebbers: een regelmatige 17-hoek heeft hoeken van $\frac{360}{17}$ graden. De 17-hoek is construeerbaar omdat je voor de berekening van de cosinus van zo'n hoek in feite alleen maar vierkantswortels nodig hebt. De formule die die cosinus geeft, willen we jullie hier zeker tonen: $$ \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{2}\sqrt{17 - \sqrt{17}} + 2\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{2}\sqrt{17 - \sqrt{17}} - 2\sqrt{2}\sqrt{17 + \sqrt{17}}}}{17 - 1}$$ Er wordt verteld dat Gauss graag een afbeelding van zo'n 17-hoek op zijn grafsteen had gehad, maar dat de grafsteenhouwer dat geweigerd had omdat het verschil met een cirkel zo klein was dat hij vreesde van amateurisme beschuldigd te worden. Nochtans bleek veel later dat de tekening wel op een postzegel past. En als je nu op die postzegel kijkt naar de 17-hoek in kwestie, dan kunnen we de grafsteenhouwer alleen maar gelijk geven.

• In een sudoku-opgave zijn de ingevulde vakjes met zorg gekozen. Het mogen er niet te veel zijn, anders wordt het te gemakkelijk, of nog erger, ontstaan er conflicten en is de sudoku onoplosbaar. Anderzijds mogen er niet te weinig cijfers gegeven zijn, want de opgave moet naar een unieke oplossing leiden. Je mag 1 keer raden wat het theoretische minimum is voor het aantal ingevulde vakjes voor een deterministische sudoku-opgave. 

• Er bestaat een woord voor de angst voor priemgetallen: primonumerophobia. En we kunnen de mensen die te lijden hebben onder deze fobie alleen maar aanraden om niet te tellen hoeveel letters dit woord heeft!
• Je kan online een opname vinden van Donald Trump, te gast in de Howard Stern Show, waarin hij als antwoord geeft op de vraag "Hoeveel is 6 maal 17?": one twelve (dus 112). Waarop een andere gast in het programma zegt: 102, het juiste antwoord. Trump houdt echter koppig vol dat het 112 is, en zo kennen we hem.

We hebben ook nog enkele (nog) meer wiskundige weetjes in verband met het getal 17, voor de liefhebbers.

• Elke macht van 17 is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekzijden gehele getallen zijn. Inderdaad, we beginnen eraan: uit  $17=1^2+4^2$ volgt onmiddellijk dat $$17 = \sqrt{8^2 + 15^2}$$ $$17^2=\sqrt{161^2+240^2}$$ $$17^3 = \sqrt{495^2+4888^2}$$ $$17^4 = \sqrt{31679^2+77280^2}$$ De wiskundig geïnteresseerde lezer vraagt zich nu (terecht) af: en hoe volgt dit dan onmiddellijk uit die eerste som voor 17? De wiskundige geïnteresseerde schrijver denkt nu onwillekeurig: dit kunnen we wel even verklaren. En inderdaad, veel heb je niet nodig, behalve één formule die o.a. toegeschreven wordt aan Fibonacci en die je zelf kan narekenen: $$ (a^2+b^2)\cdot(c^2+d^2) = (a\cdot c - b \cdot d)^2 + (a \cdot d + b \cdot c)^2 $$ $$\ldots$$Probeer het eens.
  (Hierdoor is bijvoorbeeld het priemgetal 19 nu plots een wel erg oninteressant getal geworden want niet te schrijven als som van 2 kwadraten... )
• Iedereen kent wel de methodes om snel na te gaan of een getal deelbaar is door 2, door 3, door 5, door 9, door 10, door 11 misschien ook, maar bestaat er zoiets voor 17?
  Ja, dat bestaat en het gaat als volgt: neem het laatste cijfer 5 maal, en trek het resultaat af van je oorspronkelijke getal waar je het laatste cijfer van hebt weggelaten.
  Dus bijvoorbeeld: 90 826 302 424  wordt  9 082 630 222 want je trekt van 9 082 630 242 het getal 20 (=4 x 5) af.
  Herhaal de procedure:
  9 082 630 222  wordt  908 263 012
  908 263 012  wordt  90 826 291
  90 826 291  wordt  9 082 624
  9 082 624  wordt  908 242
  908 242  wordt  90 814
  90 814  wordt  9 061
  9 061  wordt  901
  901  wordt  85
  Dan stopt het. Indien het getal dat overblijft deelbaar is door 17, dan is het startgetal dat ook. 

Tot slot nog wat problemen om over na te denken:

• 17 is ook het aantal kamelen dat een sjeik met 3 zonen in zijn testament had staan. Die moesten zo verdeeld worden: de oudste krijgt de helft van de kamelen, de middelste zoon krijgt een derde, en de jongste moet het stellen met het negende deel. Hoe kunnen ze dat regelen?
• Dan is er ook nog het raadsel van de brug die over 17 minuten zal instorten. Vier jongens moeten nog aan de overkant zien te geraken. Elk van de jongens doet dat aan een ander tempo. Ze hebben respectievelijk 2, 3, 5 en 6 minuten nodig. Maar de brug kan maar twee personen tegelijkertijd aan. Bovendien is het nacht, en donker, en er is maar één zaklamp. Die moet dus telkens als er twee zijn overgestoken worden teruggebracht. Hoe moeten ze het aanpakken?
• Tot slot de Onmogelijke Puzzel, gepubliceerd in 1969. door Hans Freudenthal. Hij gaat als volgt.
  Twee getallen x en y zijn beide strikt groter dan 1 en de som is maximaal 100. Steven kent enkel de som van deze twee getallen, en Pascale enkel het product. Zowel Steven als Pascale zijn keien in logisch denken.
  Steven zegt: ik kan er niet achterkomen wat x en y zijn
  Pascale antwoordt: dat wist ik al
  Waarop Steven zegt: maar nu weet ik wel wat x en y zijn
  Pascale repliceert: dan weet ik het nu ook
  Bepaal x en y.
  (Ook deze puzzel heeft wel degelijk met 17 te maken.)

Deze blog wordt overigens bij voorkeur gelezen op zondag 17 augustus, de enige 17-dag van dit jaar: niet alleen de 17-de van de maand maar ook 8/2025 geeft als som van de cijfers 17. En schrijf je dit laatste als 25-8 dan krijg je ...

Heb je zelf een getal waarvan je denkt: dit is het mooiste getal ter wereld, schrijf je dan in met je favoriet getal op www.mathfest.be, via de QR-code op onderstaande flyer.