In de klas kun je het misschien verbieden. Toch blijkt het in de praktijk nog knap lastig om delen door nul altijd te vermijden.
In = 1960 publiceerde Science een artikel waarin drie wetenschappers de evolutie van de wereldbevolking beschreven. Hun formule had een eenvoudige vorm die goed overeenstemde met de tot dan toe bekende gegevens. Volgens deze vergelijking zou de bevolkingsgroei nog vele jaren aanhouden volgens een hyperbolisch profiel.
In 1975 vereenvoudigde een Duitse astrofysicus de vergelijking nog een beetje:
waarbij t staat voor de tijd uitgedrukt in kalenderjaren.
De teller is een groot getal: 179 miljard. Het getal 2026,9 in de noemer komt overeen met de datum 13 november 2026. De vergelijking voorspelt dat de wereldbevolking onbeperkt zal blijven toenemen tot 13 november 2026. Als t hieraan gelijk is, wordt de noemer nul. Dan treedt er een singulariteit op in de formule.
Hun model was gebaseerd op 24 datapunten tussen het jaar 1 en 1958: enkel voor die periode van ruwweg honderd generaties geeft het een betrouwbare indicatie. Maar als wiskundige curiositeit blijft het een intrigerende formule, precies omdat de noemer nul kan worden.
Je zou misschien kunnen denken dat we aan die deling door nul de waarde oneindig kunnen toeschrijven, maar dat blijkt lastig. Als t namelijk een tikje groter is dan 2026,9 dan wordt de noemer negatief. De breuk is dan een zeer groot negatief getal. De formule slaat dus plots om van extreem grote positieve waarden aan de linkerkant van de singulariteit naar extreem grote negatieve waarden aan de rechterkant.
Tja, delen door nul, dat mag nu eenmaal niet! Zo hebben we het allemaal op school geleerd. Eerder dit jaar kwam ik er echter achter dat sommige wetenschappers het nog steeds proberen. In mei gaf ik namelijk een lezing voor de Nederlandse Akademie van Wetenschappen. De avond had als thema ‘Nul is niet niets’. Na mijn eigen bijdrage (over kans nul) was een emeritus professor in de computerwetenschappen aan de beurt, Jan Bergstra. Zijn lezing ging over delen door nul.
In de klas kun je het misschien verbieden, maar in de praktijk blijkt het nog knap lastig om alle situaties te voorkomen waarin een programma tegen een deling door nul aan zou kunnen lopen. Nagaan of een getal exact gelijk is aan nul of toch niet helemaal is namelijk geen berekenbare taak. En als er een breuk met noemer nul in een cruciaal stukje software optreedt, bijvoorbeeld code van vliegtuig dat aan het landen is, dan moet er wel iets gebeuren. Dienst weigeren is dan geen goede optie.
De bevolkingsgroei vlakt al jaren af en de Doomsday die in 1960 voorspeld werd zal dan ook uitblijven
Dus werkte Bergstra aan rekenkundige regels waarbij een breuk met noemer nul toch een conventionele waarde krijgt. Andere auteurs hebben de waarde nul voorgesteld, weer anderen gebruiken toch oneindig, maar Bergstra werkte samen met een collega een voorstel uit waarbij een nieuwe waarde wordt ingevoerd, . Verdere bewerkingen met dit symbool leveren dan nooit meer een gewoon getal op. Dit heeft als voordeel dat je kunt blijven zien dat er eerder iets is misgelopen. Hoe het vliegtuig dan moet landen vertelde Bergstra er niet bij, maar dat het besturingssysteem alvast niet crasht lijkt me wel een duidelijk voordeel.
En wat de Doomsday-formule betreft kunnen we op twee oren slapen. Er gaat op 13 november 2026 niets bijzonders gebeuren met de wereldbevolking. Vorig jaar op 13 november 2025, of t = 2025,9, was de noemer bijvoorbeeld gelijk aan 1. Volgens deze formule zou de wereldbevolking vorig jaar dus 179 miljard geweest zijn. In werkelijkheid waren we toen ‘slechts’ met iets meer dan 8 miljard mensen.
De bevolkingsgroei vlakt al jaren af en de Doomsday die in 1960 voorspeld werd zal dan ook uitblijven. De auteurs hechtten destijds al geen geloof aan deze uitkomst. Ze merkten trouwens op dat een extrapolatie naar het verre verleden ook gekke dingen oplevert. Om een wereldbevolking van één persoon uit te komen, moet je bijvoorbeeld meer dan 179 miljard jaar terugkijken. Maar dat is veel ouder dan de leeftijd van het heelal.
Misschien moeten we voor extrapolaties ver buiten de data waarop een formule is gebaseerd ook maar eens een nieuw symbool invoeren: 💣, of zo.
De drie lezingen van ‘Nul is niet niets’ zijn online te bekijken op knaw.nl/bijeenkomsten/nul-niet-niets
